双积

在范畴论中，双积是直积在预加法范畴中的推广，它同时是范畴论意义下的积与上积。

定义

令 <math>\mathcal{C}</math> 为预加法范畴，因而任两个对象 <math>A, B</math> 间的态射集 <math>\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B)</math> 是交换群。给定有限个对象 <math>A_1, \ldots, A_n</math>，假设有：

• 对象 <math>A</math>，通常表作 <math> A_1 \oplus \cdots \oplus A_n</math>。
• 态射 <math>p_k : A \to A_k</math>（称为射影）
• 态射 <math>i_k: A_k \to A</math>（称为内射）

并假设：

• <math>i_1 \circ p_1 + \ldots i_n \circ p_n = \mathrm{id}_A</math>
• <math>p_k \circ i_k = \mathrm{id}_{A_k}</math>
• <math>k \neq l \Rightarrow p_k \circ i_l = 0 </math>

则称 <math>A</math> 是 <math>A_1, \ldots, A_n</math> 的双积。

注意到若在定义中取 <math>n=0</math>，则“空双积”是一个对象 <math>0</math>，使得恒等映射是零映射。

例子

• 交换群范畴中存在双积，此时的双积即直和。
• 一个域或除环上的向量空间也有双积，即向量空间的直和。

性质

• 如果空双积存在，并且所有二元双积 <math>A_1 \oplus A_2</math> 存在，则所有双积皆存在。
• 预加法范畴中的双积同时是范畴意义下的积与上积，这是双积一词的由来。由此可导得空双积是零对象。
• 反之，预加法范畴中的积或上积也带有自然的双积结构。