相等
在数学的领域中，若两个数学对象在各个方面都相同，则称他们是相等的。这就定义了一个二元谓词等于，写作“<math>=</math>”；<math>x=y</math>当且仅当<math>x</math>和<math>y</math>相等。通常意义上，等于是通过两个元素间的等价关系来构造的。将两个表达式用等于符号连起来，就构成了等式，例如<math>6-2=4</math>，即<math>6-2</math>与<math>4</math>是相等的。
注意，有些时候“<math>A=B</math>”并不表示等式。例如，<math>T(n)=O(n^2)</math>表示在数量级<math>n^2</math>上渐进。因为这里的符号“<math>=</math>”不满足当且仅当的定义，所以它不等于等于符号；实际上，<math>O(n^2)=T(n)</math>是没有意义的。请参见大O符号了解这部分内容。
集合<math>A</math>上的等于关系是种二元关系，满足自反性，对称性，反对称性和传递性。 实际上，这是<math>A</math> 上唯一满足所有这些性质的关系。 去掉对反对称性的要求，就是等价关系。 相应的，给定任意等价关系<math>R</math>，可以构造商集<math>A/R</math>，并且这个等价关系将‘下降为’<math>A/R</math>上的等于。
在任何条件下都成立的等式称为恒等式，包含未知数的等式称为方程式。
逻辑形式[编辑]
谓词逻辑含有标准的关于相等的公理来形式化莱布尼茨律。莱布尼茨律是由哲学家莱布尼茨在17世纪提出来的。 莱布尼茨的想法是，两样物体是同一的，当且仅当它们有完全相同的性质。 形式化这一说法，可以写成
- 对任意<math>x</math>和<math>y</math>，<math>x=y</math>当且仅当对任意谓词<math>P</math> ，<math>P(x)</math>当且仅当<math>P(y)</math>。
然而，在一阶逻辑中，不能对谓词进行量化。因此，需要使用下述公理：
- 对任意<math>x</math>和<math>y</math>，若<math>x</math>等于<math>y</math>，则<math>P(x)</math>当且仅当<math>P(y)</math>。
这条公理对任意单变量的谓词<math>P</math>都有效，但只定义了莱布尼茨律的一个方向：若<math>x</math>和<math>y</math>相等，则它们具有相同的性质。 可以通过简单的假设来定义莱布尼茨律的另一个方向：
- 对任意<math>x</math>，<math>x</math>等于<math>x</math>。
则若<math>x</math>和<math>y</math>具有相同的性质，则特定的它们关于谓词<math>P</math>是相同的。这里谓词<math>P</math>为：<math>P(z)</math>当且仅当<math>x=z</math>。 由于<math>P(x)</math>成立，<math>P(y)</math>必定也成立（相同的性质），所以<math>x=y</math>（' '<math>P</math>的变量为<math>y</math>）.
等于的一些基本性质[编辑]
替代性[编辑]
对任意量<math>a</math>和<math>b</math>和任意表达式<math>F(x)</math>，若<math>a = b</math>，则<math>F(a) = F(b)</math>（设等式两边都有意义）。 在一阶逻辑中，不能量化像<math>F</math>这样的表达式（它可能是个函数谓词）。 一些例子：
- 对任意实数<math>a, b, c</math>，若<math>a = b</math>，则<math>a + c = b + c</math>（这里<math>F(x)</math>为<math>x + c</math>）
- 对任意实数<math>a, b, c</math>，若<math>a = b</math>，则<math>a - c = b - c</math>（这里<math>F(x)</math>为<math>x - c</math>）
- 对任意实数<math>a, b, c</math>，若<math>a = b</math>，则<math>ac = bc</math>（这里<math>F(x)</math>为<math>xc</math>）
- 对任意实数<math>a, b, c</math>，若<math>a = b</math>且<math>c \ne 0</math>，则<math>a / c = b / c</math>（这里<math>F(x)</math>为<math>x / c</math>）
自反性[编辑]
对任意量<math>a</math>，<math>a=a</math>。
这个性质通常在数学证明中作为中间步骤。
对称性[编辑]
例子：如果<math>a=b</math>，那么<math>b=a</math>
传递性[编辑]
例子：如果<math>a=b</math>，<math>b=c</math>，那么<math>a=c</math>
实数或其他对象上的二元关系“约等于”，即使进行精确定义，也不具有传递性（即使看上去有，但许多小的差能够叠加成非常大）。然而，在绝大多数情况下，等于具有传递性。
尽管对称性和传递性通常看上去是基本性质，但它们能够通过替代性和自反性证明得到。
符号的历史[编辑]
“等于”符号或 “<math>=</math>”被用来表示一些算术运算的结果，是由罗伯特·雷科德在1557年发明的。
由于觉得书写文字过于麻烦，雷科德在他的作品 The Whetstone of Witte 中采用了这一符号。原因是符号中的两条线一样长，表明其连接的两个量也相等。这一发明在威尔士的St Mary教堂有记录。
约等于的符号是<math>\approx</math>或≒，不等于的符号是<math>\neq</math>。