向量场

在向量微积分和物理学中，向量场（英语：vector field）是把空间中的每一点指派到一个向量的映射。物理学中的向量场有风场、引力场、电磁场、水流场等等。

定义

设X是Rⁿ里的一个连通开集，一个向量场就是一个向量函数

<math> \mathbf{F}: X \rightarrow \mathbb{R}^n</math>

我们称<math display="inline"> \mathbf{F}</math>为一个C^k向量场，如果<math> \mathbf{F}</math>在X上是k次连续可微的。

在X内，一个点x被称为固定的，若

<math> \mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}</math>

向量场可以理解为一个n维空间，其中对X内每一个点都有个附着的n维向量。

给定两个定义于X上的C^k-向量场F,G以及一个定义于X上的C^k-实值函数f，可以定义以下运算

<math> (f \mathbf{F})(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}) \mathbf{F}(\mathbf{x})</math>

<math> \mathbf{(F+G)}(\mathbf{x}) = \mathbf{F}(\mathbf{x}) + \mathbf{G}(\mathbf{x})</math>

如此便可定义在C^k函数的环上的C^k向量场的模。