电场

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正电荷产生的电场，与距离的平方成反比，方向朝外。
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负电荷产生的电场，与距离的平方成反比，方向朝内。

电场（有时称为 E 场[1]）是围绕带电粒子（例如电子）的一种物理场。在经典电磁学中，单一电荷（或一组电荷）的电场描述其对另一带电物体施加吸引力或排斥力的能力。当两个带电粒子的电荷符号相反，即一者为正、一者为负时，它们彼此吸引；当电荷符号相同时，它们彼此排斥。由于这种力是相互作用，必须至少有两个电荷存在才会出现电力。这些作用力可由库仑定律描述：电荷量越大，作用力越大；两者距离越远，作用力越弱。非正式地说，物体所带电荷量越大，其电场越强；同样地，越接近带电物体，电场越强，越远离则越弱。电场源自电荷与随时间变化的电流。电场与磁场都是电磁场的表现形式；电磁相互作用是自然界四种基本相互作用之一。

电场在许多物理学分支中都很重要，并广泛应用于电气技术。例如，在原子物理学与化学中，原子核与电子之间由电场造成的相互作用，是使这些粒子结合成原子的力；类似地，原子之间的电场相互作用也是形成化学键、进而产生分子的原因。

电场定义为一个矢量场：它把空间中每一点对应到一个矢量，该矢量等于静止于该点的无穷小正试探电荷所受的力除以其电荷量。[2][3][4] 电场的国际单位制单位为伏特每米（V/m），等同于牛顿每库仑（N/C）。[5]

描述[编辑]

File:VFPt image charge plane horizontal.svg
悬置于无限大导体平面上方的正点电荷所形成的电场。图中以电场线表示电场；电场线沿着空间中电场的方向。导体平面中的感应电荷分布未显示。

电场在空间每一点的定义，是将位于该点、无穷小且静止的正试探电荷所受的力除以该电荷量。[6]: 469–70  电场以力来定义，而力是矢量（即同时具有大小与方向），因此电场可描述为矢量场。[6]: 469–70  电场作用于两个电荷之间的方式，类似重力场作用于两个质量之间的方式，两者皆依距离满足平方反比定律。[7] 这是库仑定律的基础；该定律指出，对静止电荷而言，电场随源电荷成正比，并随距离平方成反比。也就是说，若源电荷加倍，电场也加倍；若到源电荷的距离加倍，该处电场仅为原来的四分之一。

电场可用一组线来视觉化；每一点上线的方向与该处电场方向相同。这一概念由麦可·法拉第引入，[8] 其“力线”一词至今仍偶尔使用。若绘图时让每条线代表相同大小的通量，则场强与线的密度成正比，这是电场线图的一项有用性质。[9] 静止电荷产生的电场线具有几项重要性质：它们总是起于正电荷、终于负电荷；以直角进入良导体；且彼此不相交，也不自行闭合。[6]: 479  电场线只是表示概念；实际电场充满线与线之间的全部空间。可依所需精度绘制较多或较少的线。[8] 研究静止电荷所产生电场的学科称为静电学。

法拉第定律描述随时间变化的磁场与电场之间的关系。法拉第定律的一种表述是：电场的旋度等于磁场对时间导数的负值。[10]: 327  因此，若不存在随时间变化的磁场，电场称为保守（即无旋）电场。[10]: 24, 90–91  这意味着电场可分为两类：静电场，以及由随时间变化的磁场产生的电场。[10]: 305–307  静电场的无旋性使其可用静电学作较简单的处理；而随时间变化的磁场通常被视为统一电磁场的一部分。研究随时间变化的磁场与电场的学科称为电动力学。

数学表述[编辑]

主条目：电磁场的数学表述

电场由电荷产生，其关系由高斯定律描述；[11] 电场也可由随时间变化的磁场产生，其关系由法拉第电磁感应定律描述。[12] 这些定律合在一起足以界定电场的行为。然而，由于磁场也以电场的函数形式描述，两种场的方程彼此耦合，并共同构成麦克斯韦方程组；该方程组把电场与磁场描述为电荷与电流的函数。

File:Cat demonstrating static cling with styrofoam peanuts.jpg
电场存在的证据：发泡聚苯乙烯填充物因静电黏附在猫毛上。猫的动作透过摩擦起电效应使毛皮累积静电荷；这些电荷的电场又透过静电感应使保丽龙分子极化，于是轻质塑胶片会被带电毛皮微弱吸引。衣物的静电吸附亦由同一效应造成。

静电学[编辑]

主条目：库仑定律

在稳态（静止电荷与稳定电流）的特殊情况下，麦克斯韦－法拉第感应效应消失。由此得到的两个方程（高斯定律 <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}</math> 与没有感应项的法拉第定律 <math>\nabla \times \mathbf{E} = 0</math>）合在一起，等价于库仑定律。库仑定律指出，位于 <math>\mathbf r_1</math> 的电荷 <math>q_1</math> 对位于 <math>\mathbf r_0</math> 的电荷 <math>q_0</math> 施加的力为：[13] <math display="block">\mathbf{F}_{01} = \frac{q_1q_0}{4\pi\varepsilon_0} {\hat\mathbf r_{01}\over {|\mathbf r_{01}|}^2} = \frac{q_1q_0}{4\pi\varepsilon_0} {\mathbf r_{01}\over {|\mathbf r_{01}|}^3}</math> 其中：

  • <math> \mathbf{F}_{01} </math> 是带电粒子 <math> q_1 </math> 对带电粒子 <math> q_0 </math> 造成的力。
  • ε0 是真空电容率。
  • <math> \hat \mathbf{r}_{01} </math> 是从 <math> \mathbf r_1 </math> 指向 <math> \mathbf r_0 </math> 的单位矢量。
  • <math> \mathbf{r}_{01} </math> 是从 <math> \mathbf r_1 </math> 到 <math> \mathbf r_0 </math> 的位移矢量。

当电荷处于非真空介质中时，<math>\varepsilon_0</math> 必须以介质的电容率 <math>\varepsilon</math> 取代。若 <math>q_0</math> 与 <math>q_1</math> 同号，该力为正，方向背离另一电荷，表示两粒子相斥；若两电荷异号，该力为负，表示两粒子相吸。

为了方便计算位于 <math>\mathbf r_0</math> 的任意电荷所受的库仑力，可将上式除以 <math>q_0</math>，得到只依赖另一电荷（即源电荷）的表达式：[14][4] <math display="block">\mathbf{E}_{1} (\mathbf r_0) = \frac{ \mathbf{F}_{01} } {q_0} = \frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0} {\hat\mathbf r_{01}\over {|\mathbf r_{01}|}^2} = \frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0} {\mathbf r_{01}\over {|\mathbf r_{01}|}^3}</math> 其中 <math>\mathbf{E}_{1} (\mathbf r_0) </math> 是由 <math> q_1 </math> 在 <math> q_0 </math> 所在处产生的电场分量。

这就是点电荷 <math>q_1</math> 在点 <math>\mathbf r_0</math> 产生的电场；它是一个矢量值函数，等于正点电荷位于 <math>\mathbf r_0</math> 时所受库仑力的单位电荷量值。由于该公式给出空间任意点 <math>\mathbf r_0</math> 的电场大小与方向（电荷自身位置 <math>\mathbf r_1</math> 除外，该处公式趋于无穷大），它定义了一个矢量场。由上式可见，正点电荷产生的电场处处背离该电荷，负点电荷产生的电场处处指向该电荷；其大小随离电荷距离的平方反比减小。

空间任一点处电荷量为 <math>q</math> 的电荷所受库仑力，等于该电荷量乘以该点的电场： <math display="block">\mathbf{F} = q\mathbf{E} .</math> 电场的国际单位制单位为牛顿每库仑（N/C），或伏特每米（V/m）；以国际单位制基本单位表示为 kg⋅m⋅s−3⋅A−1。

叠加原理[编辑]

由于麦克斯韦方程组具有线性，电场满足叠加原理。叠加原理指出，多个电荷在某点造成的总电场，等于各个电荷单独在该点造成的电场矢量和。[4] 这一原理有助于计算多个点电荷造成的电场。若电荷 <math>q_1, q_2, \dots, q_n</math> 静止于空间中 <math>\mathbf R_1,\mathbf R_2,\dots,\mathbf R_n</math> 各点，且不存在电流，则由库仑定律与叠加原理得： <math display="block">\begin{align} \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \mathbf{E}_1(\mathbf{r}) + \mathbf{E}_2(\mathbf{r}) + \dots + \mathbf{E}_n(\mathbf{r}) = {1\over4\pi\varepsilon_0} \sum_{i=1}^n q_i {\hat\mathbf r_i\over {|\mathbf r_i|}^2} = {1\over 4\pi\varepsilon_0} \sum_{i=1}^n q_i {\mathbf r_i\over {|\mathbf r_i|}^3} \end{align}</math> 其中：

  • <math>\hat\mathbf r_i</math> 是从点 <math>\mathbf R_i</math> 指向点 <math>\mathbf r</math> 的单位矢量。
  • <math>\mathbf r_i</math> 是从点 <math>\mathbf R_i</math> 到点 <math>\mathbf r</math> 的位移矢量。

连续电荷分布[编辑]

叠加原理可用来计算电荷密度分布 <math>\rho(\mathbf r)</math> 所造成的电场。将空间中 <math>\mathbf r'</math> 处每一个小体积 <math>dv</math> 内的电荷 <math>\rho(\mathbf r')dv</math> 视为点电荷，则该微小电荷在点 <math>\mathbf r</math> 造成的电场 <math>d\mathbf{E}(\mathbf r)</math> 为： <math display="block">d\mathbf{E}(\mathbf r) = \frac{\rho(\mathbf r')}{4\pi\varepsilon_0}{\hat\mathbf r'\over {|\mathbf r'|}^2} dv = \frac{\rho(\mathbf r')}{4\pi\varepsilon_0} {\mathbf r'\over {|\mathbf r'|}^3} dv </math> 其中：

  • <math>\hat \mathbf{r}'</math> 是从 <math>\mathbf r'</math> 指向 <math>\mathbf r</math> 的单位矢量。
  • <math>\mathbf r'</math> 是从 <math>\mathbf r'</math> 到 <math>\mathbf r</math> 的位移矢量。

将体积 <math>V</math> 中所有体积元的贡献相加，即对电荷密度作积分，可得总电场： <math display="block">\mathbf{E}(\mathbf r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \iiint_V \, \rho(\mathbf r') {\mathbf r'\over {|\mathbf r'|}^3} dv</math>

对于分布在曲面 <math>S</math> 上、具有面电荷密度 <math>\sigma(\mathbf r')</math> 的面电荷，有相应公式： <math display="block">\mathbf{E}(\mathbf r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \iint_S \, \sigma(\mathbf r') {\mathbf r'\over {|\mathbf r'|}^3} da,</math> 对于分布在线 <math>L</math> 上、具有线电荷密度 <math>\lambda(\mathbf r')</math> 的线电荷，有： <math display="block">\mathbf{E}(\mathbf r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_L \,\lambda(\mathbf r') {\mathbf r'\over {|\mathbf r'|}^3} d \ell.</math>

电势[编辑]

主条目：电势
参见：亥姆霍兹分解和保守矢量场 § 无旋矢量场

若系统为静态，使磁场不随时间变化，则依据法拉第定律，电场为无旋场。此时可定义电势，即存在函数 <math>\varphi</math> 使得 {{{1}}}[15] 这与重力势类似。空间中两点的电势差称为两点间的电势差（或电压）。

然而，在一般情形下，电场不能脱离磁场而独立描述。给定磁矢势 A，使 <math>\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}</math>，仍可定义一个电势 <math> \varphi</math>，使得： <math display="block"> \mathbf{E} = - \nabla \varphi - \frac { \partial \mathbf{A} } { \partial t } ,</math> 其中 <math>\nabla \varphi</math> 是电势的梯度，<math>\frac { \partial \mathbf{A} } { \partial t }</math> 是 A 对时间的偏导数。

对上式取旋度，即可复得法拉第电磁感应定律：[16] <math display="block">\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial (\nabla \times \mathbf{A})} {\partial t} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} ,</math> 这也在事后证明了前述 E 形式的合理性。

连续与离散电荷表示[编辑]

主条目：电荷密度

电磁学方程最适合用连续描述表示。不过，电荷有时更适合被描述为离散点；例如某些模型会把电子描述成点源，于是电荷密度在空间中无穷小区域内趋于无限大。

位于 <math>\mathbf{r}_0</math> 的电荷 <math>q</math>，可用狄拉克δ函数（三维）表示为电荷密度 <math>\rho(\mathbf{r}) = q\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_0)</math>。反过来，连续电荷分布也可用大量小点电荷来近似。

静电场[编辑]

主条目：静电学
File:VFPt charges plus minus thumb.svg
正电荷（红）与负电荷（蓝）周围电场的示意图。

静电场是不随时间变化的电场。当带电物质系统静止，或电流不变时，就会出现这类电场。在这种情况下，库仑定律即可完整描述该场。[17]

静电场与重力场的相似性[编辑]

参见：重力电磁性

描述电荷相互作用的库仑定律： <math display="block">\mathbf{F} = q \left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\mathbf{\hat{r}}}{|\mathbf{r}|^2}\right) = q \mathbf{E}</math> 与牛顿万有引力定律相似： <math display="block">\mathbf{F} = m\left(-GM\frac{\mathbf{\hat{r}}}{|\mathbf{r}|^2}\right) = m\mathbf{g}</math> 其中 <math display="inline">\mathbf{\hat{r}} = \mathbf{\frac{r}{|r|}}</math>。

这显示电场 E 与重力场 g 及其相关势能函数之间存在相似性。质量有时也被称为“重力电荷”。[18]

静电力与重力皆为中心力、保守力，并服从平方反比定律。

均匀场[编辑]

File:VFPt capacitor-square-plate.svg
两片有限大小平行导体板（即平行板电容器）之间电场的示意图。在远离边缘的板中央区域，电场非常接近均匀。

均匀场是指电场在每一点都相同的场。将两片导电平板彼此平行放置，并在两板之间维持一个电压（电势差），即可近似产生均匀场；这只是近似，因为边界效应会使板边缘附近的电场发生畸变。若假设平板无限大，电场大小 E 为： <math display="block"> E = - \frac{\Delta V}{d} ,</math> 其中 ΔV 是两板间的电势差，d 是两板间距。负号来自正电荷相斥：正电荷会受到背离正电板的力，其方向与电压增加的方向相反。在微米与奈米尺度应用中，例如与半导体相关的场景，典型电场大小约为 <math>10^6\,\mathrm{V\cdot m^{-1}}</math>；这可透过在相距 1 μm 的导体间施加约 1 伏特电压达成。

电场线[编辑]

File:Electrostatic induction.svg
电荷 (+) 的电场（带箭头的线）透过静电感应在金属物体表面诱导出电荷（红色与蓝色区域）。
主条目：场线

使用场线是描绘电场的一种方便方式，即使对复杂电场也适用。[19] 在电场线图中，某区域内电场的大小与方向由一组跨越该区域且彼此不相交的曲线表示。若绘制得当，任一点的电场方向由邻近电场线的方向表示，电场大小则由该区域内电场线的密度表示。

电场线不相交。它们起于正电荷（或从无穷远延伸而来），终于负电荷（或延伸至无穷远）。此外，从某一电荷发出的电场线数量必须与该电荷量成正比。静电场不能形成闭合回路。（图中展示了由正点电荷在三个邻近导体表面诱导电荷所产生的复杂电场线图。）

电场线只能近似表示某一区域的电场；要完美表示电场需要无限多条电场线。尽管如此，这类图示仍有助于说明电场在某一区域内如何变化。

电磁场[编辑]

主条目：电磁场

电磁场由电场与磁场构成；当电荷运动时，两者都可能随时间变化。依据安培环路定律（含麦克斯韦修正项），运动电荷会产生磁场；该定律连同麦克斯韦其他方程，以旋度形式定义磁场 <math>\mathbf{B}</math>： <math display="block">\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\left(\mathbf{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} \right) ,</math> 其中 <math>\mathbf{J}</math> 是电流密度，<math>\mu_0</math> 是真空磁导率，<math>\varepsilon_0</math> 是真空电容率。

电流密度与电场对时间的偏导数，都会对磁场旋度作出贡献。此外，麦克斯韦－法拉第方程指出： <math display="block">\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}.</math> 这些方程代表麦克斯韦四个方程中的两个，并把电场与磁场紧密连结，形成电磁场。它们构成一组四个彼此耦合的多维偏微分方程；对特定系统求解后，可描述电磁场的整体行为。一般而言，试探电荷在电磁场中受到的力由洛仑兹力定律给出： <math display="block">\mathbf{F} = q\mathbf{E} + q\mathbf{v} \times \mathbf{B} .</math>

电场中的能量[编辑]

电磁场储存的总能量密度为：[20] <math display="block"> u_\text{EM} = \frac{\varepsilon}{2} |\mathbf{E}|^2 + \frac{1}{2\mu} |\mathbf{B}|^2 </math> 其中 <math>\varepsilon</math> 是场所在介质的电容率，<math>\mu</math> 是其磁导率，E 与 B 分别为电场矢量与磁场矢量。

由于 E 场与 B 场彼此耦合，把上式简单分解为“电”与“磁”两部分可能造成误导。特别是，某一参考系中的静电场，通常会在相对运动的参考系中转换为带有磁场分量的场。因此，将电磁场分解为电场与磁场分量是依参考系而定的；相关能量的分解也同样依参考系而定。

给定体积 V 中电磁场储存的总能量 UEM 为： <math display="block">U_\text{EM} = \frac{1}{2} \int_{V} \left( \varepsilon |\mathbf{E}|^2 + \frac{1}{\mu} |\mathbf{B}|^2 \right) dV \, .</math>

电位移场[编辑]

主条目：电位移场

矢量场的定义方程[编辑]

参见：电磁学方程列表

在有物质存在时，把电场概念扩展为三个矢量场是有用的：[21] <math display="block">\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}</math> 其中 P 是电极化，也就是电偶极矩的体积密度；D 是电位移场。由于 E 与 P 分别独立定义，此方程可用来定义 D。D 的物理诠释不像 E（可视为作用于材料的场）或 P（材料内偶极子造成的感应场）那样直观，但它仍是一项方便的数学简化，因为以自由电荷与自由电流表示时，麦克斯韦方程可被简化。

本构关系[编辑]

主条目：本构方程

E 场与 D 场由材料的电容率 ε 联系。[22][21]

对于线性、均匀、各向同性材料，E 与 D 成正比，且在整个区域中为常数，没有位置依赖性： <math display="block">\mathbf{D}(\mathbf{r}) = \varepsilon\mathbf{E}(\mathbf{r}) .</math>

对于非均匀材料，整个材料中的关系具有位置依赖性：[23] <math display="block">\mathbf{D}(\mathbf{r}) = \varepsilon (\mathbf{r})\mathbf{E}(\mathbf{r})</math>

对于各向异性材料，E 场与 D 场不平行，因此两者由电容率张量（二阶张量场）联系；以分量形式可写为： <math display="block">D_i = \varepsilon_{ij} E_j</math>

对于非线性介质，E 与 D 不成正比。材料可能在不同程度上呈现线性、均匀性与各向同性。

电场的相对论效应[编辑]

匀速运动的点电荷[编辑]

麦克斯韦方程组在洛仑兹变换下形式不变，可用来推导匀速运动点电荷的电场。实验证据支持粒子的电荷在不同参考系中保持不变。[24] 另一种推导方式，是从源电荷静止参考系中试探电荷依库仑定律所受的四维力作洛仑兹变换，再依洛仑兹力形式给出的定义指定电场与磁场。[25] 不过，下面的方程只适用于粒子的过去运动中没有加速度的情形；此时可使用库仑定律，或可用对称性论证以简单方式求解麦克斯韦方程。因此，这种匀速运动点电荷的电场为：[26] <math display="block">\mathbf{E} = \frac q {4 \pi \varepsilon_0 r^3} \frac {1- \beta^2} {(1- \beta^2 \sin^2 \theta)^{3/2}} \mathbf{r} ,</math> 其中 <math>q</math> 是点源电荷的电荷量，<math>\mathbf{r}</math> 是从点源指向空间中该点的位置矢量，<math>\beta</math> 是所观察到的带电粒子速率与光速之比，<math>\theta</math> 是 <math>\mathbf{r}</math> 与带电粒子观察速度之间的角度。

在点电荷非相对论速率下，上式化为库仑定律给出的结果。由于计算电场时指定了速度方向，问题的对称性被破坏，因此不再具有球对称性。为了说明这点，运动电荷的电场线有时会被画成间距不均的径向线；在与电荷共同运动的参考系中，这些线则看起来间距相等。[24]

电场扰动的传播[编辑]

参见：重力场中带电粒子辐射佯谬

狭义相对论要求满足局域性原理：因果事件必须以类时方式分隔，且因果效应的传播不得快于光速。[27] 麦克斯韦定律符合这一观点，因为场的一般解可用延迟时间表示，这意味着电磁扰动以光速传播。超前时间虽然也能提供麦克斯韦方程的解，但通常被视为非物理解而忽略。

File:Bremsstrahlung.gif
轫致辐射的示意例：一个（负）电荷先以恒速移动，接着迅速停止；图中显示由此产生的电场线、电场模量，以及电磁场扰动的传播与所生成的电磁波。

考虑带电粒子的运动，例如一个原本具有上述运动电场的粒子突然停止。远处的电场不会立即恢复为静止电荷的经典电场。粒子停止后，靠近静止点周围的场开始恢复到预期状态，且此效果以光速向外传播；在此之前，更远处的电场线仍会径向指向一个假想的运动电荷。由于带电粒子的速度受到光速限制，这个虚粒子永远不会位于电磁场扰动传播范围之外，因此无法在该区域构造出违反高斯定律的高斯曲面。另一个支持这一点的技术原因是：当带电粒子以大于或等于光速运动时，不再具有唯一的延迟时间。由于电场线连续，在以光速向外传播的扰动边界处会产生连接场线的辐射电磁脉冲。[28] 一般而言，任何加速中的点电荷都会辐射电磁波；不过，在电荷系统中也可能出现非辐射加速度。

任意运动的点电荷[编辑]

参见：杰菲缅科方程 § Heaviside–Feynman formula

对于任意运动的点电荷，需要使用李纳－维谢势，以纳入例如洛仑兹规范场等势场以光速传播的效应。[29] 由于这些势满足麦克斯韦方程组，由点电荷势所导出的场也满足麦克斯韦方程。电场可表示为：[30] <math display="block">\mathbf{E}(\mathbf{r}, \mathbf{t}) = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left(\frac{\left(\mathbf{n}_s - \boldsymbol{\beta}_s\right)}{\gamma^2 \left(1 - \mathbf{n}_s \cdot \boldsymbol{\beta}_s\right)^3 \left|\mathbf{r} - \mathbf{r}_s\right|^2} + \frac{\mathbf{n}_s \times \left( \left(\mathbf{n}_s - \boldsymbol{\beta}_s\right) \times \dot{\boldsymbol{\beta}_s}\right)}{c \left(1 - \mathbf{n}_s \cdot \boldsymbol{\beta}_s\right)^3 \left|\mathbf{r} - \mathbf{r}_s\right|} \right)_{t = t_r}</math> 其中 <math>q</math> 是点源电荷的电荷量；<math display="inline">{t_r}</math> 是延迟时间，即源对该电场贡献发出的时间；<math display="inline">{r}_s(t)</math> 是粒子的位置矢量；<math display="inline">\mathbf{n}_s(\mathbf{r},t)</math> 是从带电粒子指向空间中该点的单位矢量；<math display="inline"> \boldsymbol{\beta}_s(t)</math> 是粒子速度除以光速；<math display="inline">\gamma(t)</math> 是相应的洛伦兹因子。延迟时间由下式决定： <math display="block">t_r = t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_s(t_r)|}{c}</math>

对于速度低于光速的带电粒子，在给定 <math>t</math>、<math>\mathbf{r}</math> 与 <math>r_s(t)</math> 时，<math display="inline">{t_r}</math> 的解具有唯一性。加速电荷的电磁辐射被认为来自电场中依赖加速度的项；由此可得到拉莫尔公式的相对论修正。[30]

麦克斯韦方程还存在另一组同形式的解，但使用超前时间 <math display="inline">{t_a}</math> 而非延迟时间；其解满足： <math display="block">t_a = t + \frac{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}_s(t_a)\right|}{c}</math>

这种解的物理诠释是：某点的电场受未来某时刻粒子状态支配。因此它通常被视为非物理解并被舍弃。不过，也有理论探讨麦克斯韦方程组的超前时间解，例如费曼－惠勒吸收体理论。

以上方程虽与匀速运动点电荷及其非相对论极限一致，但尚未包含量子力学效应的修正。

常用公式[编辑]

电荷配置 图示 电场
无限长直线 File:Charged infinite wire problem.svg <math>\mathbf E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0x} \hat\mathbf x,</math>

其中 <math>\lambda</math> 为均匀线电荷密度。

无限大平面 File:Charged infinite plane problem.svg <math>\mathbf E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\hat\mathbf x,</math>

其中 <math>\sigma</math> 为均匀面电荷密度。

无限长圆柱体积分布 File:Charged infinite cylinder problem.svg <math>\mathbf E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0x}\hat\mathbf x , </math>

其中 <math>\lambda</math> 为均匀线电荷密度。

球形体积分布 File:Charged solid sphere problem.svg <math>\mathbf E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0x^2}\hat\mathbf x, </math>

球外，其中 <math>Q</math> 为均匀分布于体积中的总电荷。

<math>\mathbf E = \frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0R^3}\hat\mathbf r,</math>

球内，其中 <math>Q</math> 为均匀分布于体积中的总电荷。

球面分布 File:Charged spherical surface problem.svg <math>\mathbf E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0x^2} \hat\mathbf x,</math>

球外，其中 <math>Q</math> 为均匀分布于表面的总电荷。

<math>\mathbf E = 0,</math>

均匀电荷分布时的球内电场。

带电圆环 File:Charged ring problem.svg <math>\mathbf E = \frac{Qx}{4\pi\varepsilon_0(R^2+x^2)^{3/2}}\hat\mathbf x,</math>

在轴线上，其中 <math>Q</math> 为均匀分布于圆环上的总电荷。

带电圆盘 File:Charged disc problem.svg <math>\mathbf E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \left[1-\frac x \sqrt{x^2+R^2} \right] \hat\mathbf x,</math>

在轴线上，其中 <math>\sigma</math> 为均匀面电荷密度。

电偶极子 File:Electric dipole - axial and equatorial problem.svg <math>\mathbf E = -\frac{\mathbf p}{4\pi\varepsilon_0 r^3},</math>

在赤道平面上，其中 <math>\mathbf p</math> 为电偶极矩。

<math>\mathbf E = \frac{\mathbf p}{2\pi\varepsilon_0x^3} ,</math>

在轴线上（假设 <math>x \gg d</math>），其中 <math>x</math> 也可为负值以表示轴线相反方向的位置，<math>\mathbf p</math> 为电偶极矩。

处于静电平衡的导体表面，若某点面电荷密度为 <math>\sigma</math>，则无穷接近该点导体表面的电场为 <math display="inline">\frac{\sigma}{\varepsilon_0} \hat\mathbf x</math>。这是因为电荷只形成于表面，而在无穷小尺度下，表面近似为无限大的二维平面。若无外加电场，球形导体的电荷会均匀分布于表面，因此具有与均匀球面电荷分布相同的电场。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

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