支撑集
支撑集（英语：support，简称支集），是一个数学概念，它是集合<math>X</math>的一个子集，要求对给定的<math>X</math>上定义的实值函数<math>f</math>在这个子集上恰好非0。最常见的情形是，<math>X</math>是一个拓扑空间，比如实数轴等等，而函数<math>f</math>在此拓扑下连续。此时，<math>f</math>的支撑集被定义为这样一个闭集<math>C</math>：<math>f</math>在<math>X \backslash C</math>中为<math>{0}</math>，且不存在<math>C</math>的真闭子集也满足这个条件，即，<math>C</math>是所有这样的子集中最小的一个。拓扑意义上的支撑集是点集意义下支撑集的闭包。
特别地，在概率论中，一个概率分布是随机变量的所有可能值组成的集合的闭包。
闭支撑[编辑]
常见的情况出现为：<math>X</math>是一个拓扑空间（例如实轴或n维欧几里得空间），并且<math>f : X \to \R</math>是连续的实值函数（或复值函数）。此时，<math>f</math>的支撑在拓扑上定义为使得<math>f</math>非零的<math>X</math>子集的闭包[1][2][3]，即：
<math display="block">\operatorname{supp}(f) := \operatorname{cl}_X\left(\{x \in X \,:\, f(x) \neq 0 \}\right) = \overline{f^{-1}\left(\{ 0 \}^{c}\right)}.</math>
由于闭集的交集也是闭集，所以<math>\operatorname{supp}(f)</math>是集合论中所有包含<math>f</math>支撑的闭集的交集。
例如，<math>f : \R \to \R</math>定义如下：
<math display="block">f(x) = \begin{cases} 1 - x^2 & \text{if } |x| < 1 \\ 0 & \text{if } |x| \geq 1 \end{cases}</math>
<math>f</math>的支撑是闭区间<math>[-1, 1]</math>，因为<math>f</math>在开区间<math>(-1, 1)</math>非零，其闭包为<math>[-1, 1]</math>。
闭支撑的概念通常用于描述连续函数，但该定义对拓扑空间上的任意实值或复值函数都有意义，有些作者不要求 <math>f : X \to \R</math>（或 <math>f : X \to \Complex</math>不需要）连续。[4]
紧支撑[编辑]
如果某函数的支撑集是 <math>X</math> 中的一个紧集，此函数被称为是紧支撑于空间 <math>X</math> 的。例如，若 <math>X</math> 是实数轴，那么所有在无穷远处消失的函数都是紧支撑的。事实上，这是函数必须在有界集外为<math>0</math>的一个特例。在好的情形下，紧支撑的函数所构成的集合，在所有在无穷远处消失的函数构成的集合中，是稠密集的，当然在给定的具体问题中，这一点可能需要相当的工作才能验证。例如对于任何给定的 <math>\epsilon > 0</math>，一个定义在实数轴 <math>X</math> 上的函数 <math>f</math> 在无穷远处消失，可以粗略通过选取一个紧子集 <math>C</math> 来描述：
- <math>|f(x) - 1_C(x)f(x)| < \epsilon</math>
其中 <math>1_C(x)</math> 表示 <math>C</math> 的指示函数。
注意，任何定义在紧空间上的函数都是紧支撑的。
当然也可以更一般地，将支撑集的概念推广到分布，比如狄拉克函数：定义在直线上的 <math>\delta(x)</math>。此时，我们考虑一个测试函数 <math>F</math>，并且 <math>F</math> 是光滑的，其支撑集不包括 <math>0</math>。由于 <math>\delta(F)</math> （即 <math>\delta</math> 作用于 <math>F</math>）为 <math>0</math>，所以我们说 <math>\delta</math> 的支撑集为 <math>\{0\}</math>。注意实数轴上的测度（包括概率测度）都是分布的特殊情况，所以我们也可以定义一个测度支撑集。
奇支集[编辑]
在傅立叶分析的研究中，一个分布的奇支集或奇异支集有非常重要的意义。 直观地说，这个集合的元素都是所谓的奇异点，即使得这个分布不能局部地看作一个函数的点。
例如，单位阶跃函数的傅立叶变换，在忽略常数因子的情况下，可以被认为是<math>1/x</math>，但这在<math>x = 0</math>时是不成立的。所以很明显地，<math>x = 0</math>是一个特殊的点，更准确地说，这个分布的傅立叶变换的奇支集是<math>\{0\}</math>，即对于一个支撑集包括<math>0</math>的测试函数而言，这个分布的作用效果不能表示为某个函数的作用。当然这个分布可以表示为一个柯西主值意义下的瑕积分。
对于多变量的分布，奇支集也可以更精确地被描述为波前集，从而可以利用数学分析来理解惠更斯原理。奇支集也可以用来研究分布理论中的特殊现象，如在试图将分布'相乘'时候导致的问题（狄拉克函数的平方是不存在的，因为两个相乘的分布的奇支集必须不相交）。
支撑族[编辑]
支撑族是一个抽象的拓扑概念，昂利·嘉当在一个层中定义了这个概念。在将庞加莱对偶性推广到非紧的流形上的时候，在对偶的一个方面上引入紧支撑的概念是自然的。
Bredon的书《Sheaf Theory》(第二版 1997)中给出了这些定义。<math>X</math>的一组闭子集<math>\Phi</math>是一个支撑族，如果它是下闭的并且它的有限并也是闭的。它的扩张是<math>\Phi</math>的并。一个仿紧化(paracompactifying)的支撑族对于任何<math>Y \in \Phi</math>，在子空间拓扑意义下是一个仿紧空间，并且存在一些<math>Z \in Pi</math>是一个邻域。如果<math>X</math>是一个局部紧空间，并且是豪斯多夫空间，所有的紧子集组成的族满足上的条件，那么就是仿紧化的。
参考文献[编辑]
- ^ Folland, Gerald B. Real Analysis, 2nd ed.. New York: John Wiley. 1999: 132.
- ^ Hörmander, Lars. Linear Partial Differential Equations I, 2nd ed.. Berlin: Springer-Verlag. 1990: 14.
- ^ Pascucci, Andrea. PDE and Martingale Methods in Option Pricing. Bocconi & Springer Series. Berlin: Springer-Verlag. 2011: 678. ISBN 978-88-470-1780-1. doi:10.1007/978-88-470-1781-8.
- ^ Rudin, Walter. Real and Complex Analysis, 3rd ed.. New York: McGraw-Hill. 1987: 38.