笛卡儿积
在数学中，两个集合<math>X</math>和<math>Y</math>的笛卡儿积（英语：Cartesian product），又称直积，在集合论中表示为<math>\,X \times Y</math>，是所有可能的有序对组成的集合，其中有序对的第一个对象是<math>\,X\,</math>的成员，第二个对象是<math>\,Y\,</math>的成员。
- <math>X \times Y = \left\{ \left( x,y \right) \mid x \in X \land y \in Y \right\}</math>。
举个实例，如果集合<math>\,X\,</math>是13个元素的点数集合<math>\left \{ A,K,Q,J,10,9,8,7,6,5,4,3,2 \right \}</math>，而集合<math>\,Y\,</math>是4个元素的花色集合<math>\{</math>♠, ♥, ♦, ♣<math>\}</math>，则这两个集合的笛卡儿积是有52个元素的标准扑克牌的集合<math>\{(A,</math>♠<math>),(K,</math>♠<math>), ...,(2,</math>♠<math>),...,(A,</math>♣<math>),...,(3,</math>♣<math>),(2,</math>♣<math>)\}</math>。
笛卡儿积得名于笛卡儿，因为这概念是由他建立的解析几何引申出来。
笛卡儿积的性质[编辑]
易见笛卡儿积满足下列性质：
- 对于任意集合<math>A</math>，根据定义有<math>A \times \varnothing = \varnothing \times A = \varnothing</math>
- 一般来说笛卡儿积不满足交换律和结合律。
- 笛卡儿积对集合的并和交满足分配律，即
- <math>A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)</math>
- <math>(B \cup C) \times A = (B \times A) \cup (C \times A)</math>
- <math>A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)</math>
- <math>(B \cap C) \times A = (B \times A) \cap (C \times A)</math>
- <math>(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)</math>
- 若一个集合<math>A</math>包含有无限多的元素，那这个集合对自身的笛卡尔积<math>A \times A</math>有和<math>A</math>一样多的元素。
笛卡儿平方和n元乘积[编辑]
集合<math>X</math>的笛卡儿平方（或二元笛卡儿积）是笛卡儿积<math>X\times X</math>。一个例子是二维平面<math>R\times R</math>，（这里<math>R</math>是实数集） - 它包含所有的点<math>(x,y)</math>，这里的<math>x</math>和<math>y</math>是实数（参见笛卡儿坐标系）。
为了帮助枚举，可绘制一个表格。一个集合作为行而另一个集合作为列，从行和列的集合选择元素，以形成有序对作为表的单元格。
可以推广到在<math>n</math>个集合<math>X_1, ..., X_n</math>上的n-元笛卡儿积:
- <math>\prod^n_{i=1} X_i := X_1\times\ldots\times X_n := \{(x_1, \ldots, x_n) \ | \ x_1\in X_1\;\land\;\ldots\;\land\;x_n\in X_n\}</math>。
实际上，它可以被等同为<math>\left ( X_1\times ...\times X_{n-1} \right )\times X_n</math>。它是n-元组的集合。
一个例子是欧几里得三维空间<math>R\times R\times R</math>，这里的<math>R</math>同样是指实数集。
无穷乘积[编辑]
有限个集合可以看成某个一对一的有限集合序列 <math>x = {\{x(i)\}}^n_{i=1}</math>（因为序列是种以自然数系 <math>\N</math> 为定义域的函数），而 <math>x</math> 的值域恰好是预备要依序进行笛卡儿积的所有集合，换句话说：
- <math>I_x = \{x(1),\,x(2),\,\dots,\,x(n)\} </math>
- <math>\{1,\,2,\,\dots,\,n\}
\,\overset{x}{\cong}\, I_x</math>
这样的话，若有函数 <math>f:I \to \bigcup I_g</math> 满足：
- <math>(\forall i \in I)[f(i) \in x(i)]
</math>
那就等价于
- <math>(f(1),\,f(2),\,\dots,\,f(n)) \in \prod^{n}_{i =1}x(i)
</math>
换句话说，函数 <math>f</math> 可以看做 <math>\prod^{n}_{i =1}x(i)
</math> 裡的一個n-元组，而這就是以下無窮乘積定義的直觀動機：
定义 — 若 <math>I</math> 是集合族 <math>\mathcal{X}</math> 的指标集，换句话说有指标函数 <math>x</math> 让二者等势：
- <math>I\,\overset{x}{\cong} \,\mathcal{X}</math>
那以下的函数族
- <math>\prod_{x} \mathcal{X}
- =
\left\{ f \,\bigg
在无限情况，一个令人熟悉的特例是，当索引集合是自然数集<math>\mathbb N,</math>的时候：这正是其中第i项对应于集合<math>X_i</math>的所有无限序列的集合。再次，<math>\mathbb R</math>提供了这样的一个例子：
- <math>\prod_{n = 1}^\infty \mathbb R =\mathbb{R}^\omega= \mathbb R \times \mathbb R \times \ldots</math>
是实数的无限序列的搜集，可视之为带有无限个构件的向量或元组。另一个特殊情况（上述例子也满足它）是在乘积中的各因子Xi都是相同的时候，类似于“笛卡儿指数”。这样，在最先定义中的无限并集自身就是这个集合自身，而其他条件被平凡的满足了，所以这正是从I到X的所有函数的集合。
在别的情况，无限笛卡儿积就不那么直观了；尽管在高等数学中的应用有其价值。
“非空集合的任意非空搜集的笛卡儿积为非空”这一陈述等价于选择公理。
函数的笛卡儿积[编辑]
如果<math>f</math>是从<math>A</math>到<math>B</math>的函数，而<math>g</math>是从<math>X</math>到<math>Y</math>的函数，则它们的笛卡儿积<math>f\times g</math>是从<math>A\times X</math>到<math>B\times Y</math>的函数，带有
- <math>(f\times g)(a, x) = (f(a), g(x))</math>
跟之前类似，函数的笛卡儿积也可以扩展到函数的元组和无限情况。
参见[编辑]
外部链接[编辑]
- Cartesian Product at ProvenMath （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- Direct product, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （English）
