卷积、互相关和自相关的图示比较。运算涉及函数<math>f</math>，并假定<math>f</math>的高度是1.0，在5个不同点上的值，用在每个点下面的阴影面积来指示。<math>f</math>的对称性是卷积<math>g*f</math>和互相关<math>f \star g</math>在这个例子中相同的原因。

在统计学中，互相关有时用来表示两个随机矢量 X 和 Y 之间的协方差cov（X, Y），以与矢量 X 的“协方差”概念相区分，矢量 X 的“协方差”是 X 的各标量成分之间的协方差矩阵。

在信号处理领域中，互相关（有时也称为“互协方差”）是用来表示两个信号之间相似性的一个度量，通常通过与已知信号比较用于寻找未知信号中的特性。它是两个信号之间相对于时间的一个函数，有时也称为“滑动点积”，在模式识别以及密码分析学领域都有应用。

对于离散函数 f_i 和 g_i 来说，互相关定义为

<math>(f\star g)_i \equiv \sum_j \overline{f_j}\,g_{i+j}</math>

其中和在整个可能的整数 j 区域取和，<math>\overline{f}</math>表示复共轭。对于连续信号 f(x) 和 g(x) 来说，互相关定义为

<math>(f\star g,x)\equiv \int \overline{f(t)} g(x+t)\,dt</math>

其中积分是在整个可能的 t 区域积分。

互相关实质上类似于两个函数的卷积。

特性[编辑]

互相关与卷积通过下式发生关系：

<math>f (t)\star g (t) = \overline{f(-t)}*g (t)</math>

互相关并不满足交换律：

<math>(f \star g,t) =(\overline{g} \star \overline{f})(-t)</math>，

<math>(f \star g)\star(f \star g)=(f \star f) \star(g \star g)</math>

由卷积定理可推得：

<math>\mathcal{F}\{f\star g\}=\overline{\mathcal{F}\{f\}} \cdot \mathcal{F}\{g\}</math>，

其中<math>\mathcal{F}\{f\}</math>表示<math> f </math>的傅里叶变换。

如果<math> f </math>是一个埃尔米特函数：

如果<math> f </math>和<math> g </math>都是埃尔米特函数：

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互相关

特性[编辑]

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