二次域

在代数数论中，二次域是在有理数域<math>\mathbb{Q}</math>上次数为二的数域。二次域可以唯一地表成<math>\mathbb{Q}(\sqrt{d})</math>，其中<math>d</math>无平方数因数。若<math>d>0</math>，称之为实二次域；否则称为虚二次域或复二次域。虚实之分在于<math>\mathbb{Q}( \sqrt{d})</math>是否为全实域

二次域的 研究肇源甚早，起初是作为二次型理论的一支。二次域是代数数论的基本对象之一，虽然如此，至今仍有一些未解猜想，如类数问题。

整数环与判别式

二次域<math>K := \mathbb{Q}(\sqrt{d})</math>里的整数环<math>\mathcal{O}_K</math>定义为该域中的代数整数。当<math>d \equiv 1 \mod 4</math>时，整数环可描述为<math>\mathbb{Z}(\frac{1+\sqrt{d}}{2})</math>，否则为<math>\mathbb{Z}(\sqrt{d})</math>。当<math>d=-1</math>时，这些整数称为高斯整数，当<math>d=-3</math>时，称为艾森斯坦整数。

根据上述描述，<math>K</math>的判别式不难计算：当<math>d \equiv 1 \mod 4</math>时判别式为<math>d</math>，否则则为<math>4d</math>。

二次域上的分歧理论

设<math>K := \mathbb{Q}(\sqrt{d})</math>，<math>p \in \mathbb{Z}</math>为素数。数论关注的问题是<math>(p) := p \mathcal{O}_K</math>如何在<math>\mathcal{O}_K</math>中分解成素理想之积。根据数域的分歧理论，应考虑以下情形：

• <math>p</math>是惯性的：<math>p \mathcal{O}_K</math>仍为素理想，此时<math>\mathcal{O}_K/(p) \simeq \mathbb{F}_{p^2}</math>。
• <math>p</math>分裂：<math>(p)</math>为两个相异素理想之积，此时<math>\mathcal{O}_K/(p) \simeq \mathbb{F}_p^2</math>。
• <math>p</math>分歧：<math>(p)</math>为某个素理想之平方，此时<math>\mathcal{O}_K/(p)</math>含有非零的幂零元。

根据之前对判别式的计算，可知<math>p</math>分歧当且仅当<math>p</math>整除<math>K</math>的判别式（<math>d</math>或<math>4d</math>，取决于<math>d\mod4</math>）；对其余无穷多个素数，前两个情形皆会发生，而且其概率在某种意义上相等。

素p分圆域和二次域

分圆域素p（p＞2）次根群所产生二次子域，也是伽罗瓦理论（埃瓦里斯特·伽罗瓦）的一个结论，在有理域上有惟一指数2Galois子群，，二次域特例d=-1时成称高斯整环，有判别式p的p=4N+1-P，P = 4N +3才有素分解，高斯整环分歧条件叫高斯周期（Gaussian period）。

其他的分圆域

如果一个分圆域，他们有额外的2-扭伽罗瓦群，那么就至少包含三个二次域。一般通过分圆域二次子域的判别式D的可以得到D次单位根组成的子域（D-th roots of unity）。这表示一个事实，即二次域的前导子（conductor） 是判别式D的绝对赋值 （value） 。

参考文献

• Duncan Buell. Binary quadratic forms: classical theory and modern computations. Springer-Verlag. 1989. ISBN 0-387-97037-1.  Chapter 6.
• Pierre Samuel. Algebraic number theory. Hermann/Kershaw. 1972. 
• I.N. Stewart; D.O. Tall. Algebraic number theory. Chapman and Hall. 1979. ISBN 0-412-13840-9.  Chapter 3.1.