子集
子集（英语：subset）亦称部分集合，为某集合中部分元素的集合；这时某集合则被称作这个子集的超集或母集。子集与超集的关系被称为“包含”。
如果集合<math>A</math>的任意一个元素都是集合<math>B</math>的元素（<math>\forall x\left( {x \in A \rightarrow x \in B}\right)</math>，亦可写作<math>\forall x \in A\left( {x \in B}\right)</math>），则集合<math>A</math>称为集合<math>B</math>的子集，记为<math>A \subseteq B</math>或<math>B \supseteq A</math>，读作“集合<math>A</math>包含于集合<math>B</math>”或“集合<math>B</math>包含集合<math>A</math>”。
即：<math>\forall x \in A</math>，有<math>x \in B</math>，则<math>A \subseteq B</math>。
若<math>A</math>和<math>B</math>为集合，且<math>A</math>的所有元素都是<math>B</math>的元素，则可表示为：
- <math>A</math>是<math>B</math>的子集（或称<math>A</math>包含于 <math>B</math>）；<math>A\subseteq B</math>
- <math>B</math>是<math>A</math>的超集／母集（或称<math>B</math>包含 <math>A</math>）；<math>B\supseteq A</math>
任何集合<math>B</math>皆是自身的子集（<math>B\subseteq B</math>）。而<math>B</math>的子集中不等于<math>B</math>的集合，称为真子集，若<math>A</math>是<math>B</math>的真子集，写作<math>A\subsetneqq B</math>。
定义[编辑]
假设有<math>A</math>和<math>B</math>两个集合，如果<math>A</math>中的每个元素都在<math>B</math>中，则：
- <math>A</math>是<math>B</math>的子集，记作<math>A \subseteq B</math>
- 也可以说
- <math>B</math>是<math>A</math>的超集，记作<math>B \supseteq A</math>
如果<math>A</math>是<math>B</math>的子集，但<math>A</math>不等于<math>B</math>（即<math>B</math>中至少存在一个元素不在<math>A</math>中），则：
- <math>A</math>是<math>B</math>的真子集，记作<math>A \subsetneqq B</math>
- 也可以说
- <math>B</math>是<math>A</math>的真超集，记作<math>B \supsetneqq A</math>
符号[编辑]
ISO 80000-2标准中定义了两种符号搭配：[1]
- 如果用<math>\subseteq</math>表示子集关系（包含关系），那么用<math>\subset</math>表示真子集关系（真包含关系）。[2][3][4]
- 如果用<math>\subset</math>表示子集关系（包含关系），那么用<math>\subsetneqq</math>表示真子集关系（真包含关系）。[5]: p.6
举例[编辑]
- 集合<math>\left \{ 1,2 \right \}</math>是集合<math>\left \{ 1,2,3 \right \}</math>的真子集。
- 自然数集合是有理数集合的真子集。
- 集合<math>\{x:x</math>是大于2000的素数<math>\}</math>是集合<math>\{x:x</math>是大于1000的奇数<math>\}</math>的真子集。
- 任意集合是其自身的子集，但不是真子集。
- 空集，写作<math>\varnothing</math>，是任意集合<math>X</math>的子集。空集总是其他集合的真子集，除了其自身。
性质[编辑]
命题1：空集是任意集合的子集。
这个命题说明：包含是一种偏序关系。
命题2：若<math>A,B,C</math>是集合，则：
- 自反性：
- <math>A\subseteq A</math>
- 反对称性：
- 若<math>A\subseteq B</math>且<math>B\subseteq A</math>，则<math>A=B</math>
- 传递性：
- 若<math>A\subseteq B</math>且<math>B\subseteq C</math>，则<math>A\subseteq C</math>
这个命题说明：对任意集合<math>S</math>，<math>S</math>的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。
命题3：若<math>A,B,C</math>是集合<math>S</math>的子集，则：
- 存在一个最小元和一个最大元：
- <math>\varnothing\subseteq A\subseteq S</math>（<math>\varnothing\subseteq A</math>由命题1给出）
- 存在并运算：
- <math>A\subseteq A\cup B</math>
- 若<math>A\subseteq C</math>且<math>B\subseteq C</math>，则<math>A\cup B\subseteq C</math>
- 存在交运算：
- <math>A\cap B\subseteq A</math>
- 若<math>C\subseteq A</math>且<math>C\subseteq B</math>，则<math>C\subseteq A\cap B</math>
命题4：对任意两个集合<math>A</math>和<math>B</math>，下列表述等价：
- <math>A\subseteq B</math>
- <math>A\cap B=A</math>
- <math>A\cup B=B</math>
- <math>A-B=\varnothing</math>
- <math>B'\subseteq A'</math>
这个命题说明：表述"<math>A\subseteq B</math>"，和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。
参考文献[编辑]
- ^ ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics. ISO. 2019-08 [2023-7-24]. （原始内容存档于2023-03-13） （English）.
- ^ 離散數學-第三章, [2012-09-07], （原始内容存档于2012-07-03）
- ^ 剑桥大学国际考试院IGCSE数学考纲 (PDF), [2015-03-14], （原始内容存档 (PDF)于2016-03-04）
- ^ Subsets and Proper Subsets (PDF), [2012-09-07], （原始内容 (PDF)存档于2013-01-23）
- ^ Rudin, Walter, Real and complex analysis 3rd, New York: McGraw-Hill, 1987, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157
参见[编辑]
- 幂集：某集合的全部子集组成的集合。
