旋量群

數學中，旋量群 Spin(n) 是特殊正交群 SO(n) 的二重覆疊，使得存在李群的短正合列：

<math>1 \to \mathbb{Z}_2 \to \operatorname{Spin}(n) \to \operatorname{SO}(n) \to 1</math> 。

對 n > 2， Spin(n) 單連通，從而是 SO(n) 的萬有覆疊空間。作為李群 Spin(n) 及其李代數和特殊正交群 SO(n) 有相同的維數 n(n − 1)/2。

Spin(n) 可以構造為克利福德代數 Cℓ(n) 可逆元群的一個子群。Spin(n) 由所有寫成個偶數個單位向量的克利福德乘積的元素生成。對應到 SO(n) 中恰是沿著垂直於這偶數個向量的超平面的反射的複合。

巧合同構

當維數比較低時，典型李群之間存在同構，稱為「巧合同構」。例如，低維旋量群和一定的典型李群同構，這是因為不同的低維單李代數的根系之間存在同構。特別的我們有：

Spin(1) = O(1) = Z₂

Spin(2) = U(1) = SO(2) = S¹

Spin(3) = Sp(1) = SU(2) = HU(1) = S³

Spin(4) = Sp(1) × Sp(1)

Spin(5) = Sp(2) = HU(2)

Spin(6) = SU(4)

對 n = 7，8 仍然有退化的同構，細節可參見 Spin(8)；對更高的維數，這樣的同構完全消失。

不定符號差

對於不定符號差，旋量群 Spin(p,q) 通過克利福德代數用類似於標準旋量群的方式構造，由能寫成偶數個模+1和偶數個模-1單位向量的克利福德乘積的元素生成。它是一個 SO₀(p,q)（不定正交群 SO(p,q) 含單位元連通分支）的連通二重覆疊。Spin(p,q) 的連通性不同作者有不同的約定，此文中取 p+q>2 時連通。不定符號低維時，也有一些巧合同構：

Spin(1,1) = GL(1,R)

Spin(2,1) = SL(2,R)

Spin(3,1) = SL(2,C)

Spin(2,2) = SL(2,R) × SL(2,R)

Spin(4,1) = Sp(1,1)

Spin(3,2) = Sp(4,R)

Spin(5,1) = SL(2,H)

Spin(4,2) = SU(2,2)

Spin(3,3) = SL(4,R)

注意有 Spin(p,q) = Spin(q,p)。

拓撲

連通且單連通的李群由它們的李代數決定。所以，如果 G 是具有單李代數的連通李群，G′ 是 G 的萬有覆疊，有包含：

<math> \pi_1 (G) \subset Z(G'), </math>

這裡 Z(G′) 是 G 的中心。這個包含映射和 G 的李代數 <math>\mathfrak{g}</math> 完全確定了 G （注意 <math>\mathfrak{g}</math> 和 <math>\pi_1 (G)</math> 不能完全確定 G，例如 SL(2,R) 和 PSL(2,R) 有相同的李代數和基本群 <math>\mathbb{Z}</math>，但卻不同構）。

定符號 Spin(n) 對 n > 2 都是單連通的，所以它們是 SO(n) 的萬有覆疊。不定符號時，Spin(p,q) 的極大緊子群是

<math>(\mbox{Spin}(p) \times \mbox{Spin}(q))/ \{(1,1),(-1,-1)\}</math>。

這樣我們就可計算出 Spin(p,q) 的基本群：

<math>\pi_1(\mbox{Spin}(p,q)) = \begin{cases}

\{0\} & (p,q)=(1,1) \mbox{ or } (1,0) \\ \{0\} & p > 2, q = 0,1 \\ \mathbb{Z} & (p,q)=(2,0) \mbox{ or } (2,1) \\ \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} & (p,q) = (2,2) \\ \mathbb{Z} & p > 2, q=2 \\ \mathbb{Z}_2 & p >2, q >2 \\ \end{cases}</math>

對 <math>p, q>2</math>，這意味著映射 <math>\pi_1(\mbox{Spin}(p,q)) \to \pi_1(SO(p,q))</math> 由 <math> 1 \in \mathbb{Z}_2</math> 映到 <math>(1,1) \in \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2</math> 給出； 對 p=2，q>2，映射由 <math>1 \in \mathbb{Z} \to (1,1) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2</math> ；最後，對 p = q = 2， <math>(1,0) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}</math> 映到 <math>(1,1) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} </math> 而 <math>(0,1)</math> 映到 <math>(1,-1)</math> 。

相關條目

• 反射
• Pin 群
• 旋量
• 旋量叢
• 任意子
• 自旋結構
• 克利福德代數
• 定向纏結
• 複自旋群

參考文獻

• F.Reece Harvey, Spinors and Calibrations, Academic Press, Inc., 1990.
• Pertti Lounesto, Clifford Algebras and Spinors, LMSLNS 239, Cambridge University Press,1997.
• PlanetMath, Spin Groups （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.