不等

數學上，不等是表明兩個物件的大小或者順序的二元關係，與相等相對。不等關係主要有四種：

• <math>a<b</math>，即<math>a</math>小於<math>b</math>
• <math>a>b</math>，即<math>a</math>大於<math>b</math>

上述兩個屬於嚴格不等。

• <math>a\leq b</math>，即<math>a</math>小於等於<math>b</math>
• <math>a\geq b</math>，即<math>a</math>大於等於<math>b</math>
• <math>a\neq b</math>，即<math>a</math>不等於<math>b</math>

將兩個表達式用不等符號連起來，就構成了不等式。

若不等關係對變量的所有元素都成立，則稱其為「絕對的」或「無條件的」。若不等關係只對變量的部分取值成立，而對另一部分將改變方向或失效，則稱為條件不等。

不等式兩邊同時加或減相同的數，或者兩邊同時乘以或除以同一個正數，不等關係不變。不等式兩邊同時乘以或除以同一個負數，不等關係改變方向。

符號<math>a\gg b</math>表示<math>a</math>「遠大於」<math>b</math>。其含義是不確定的，可以是 100 倍的差異，也可能是10個數量級的差異。和方程相聯繫，它被用來給出一個非常大的值而使方程的輸出滿足一個特定的結果。

性質

不等具有下列性質：

三一律：

對任意實數<math>a</math>、<math>b</math>，只有下列之一是真的：

• <math>a<b</math>
• <math>a=b</math>
• <math>a>b</math>

調換性質：

對任意實數<math>a</math>、<math>b</math>：

• <math>a < b</math> 和 <math>b > a</math> 是等價的。
• <math>a \le b</math> 和 <math>b \ge a</math> 是等價的。

遞移性：

對任意實數<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>：

• 如果 <math>a < b</math> 且 <math>b < c</math>，則 <math>a<c</math>。
• 如果 <math>a \le b</math> 且 <math>b \le c</math>，則 <math>a \le c</math>。
• 如果 <math>a < b</math> 且 <math>b \le c</math>，則 <math>a < c</math>。
• 如果 <math>a \le b</math> 且 <math>b < c</math>，則 <math>a < c</math>。

加法性質：

對任意實數<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>：

• 若 <math>a > b</math>；則 <math>a + c > b + c</math> 。
• 若 <math>a < b</math>；則 <math>a + c < b + c</math>。

乘法性質：

對任意實數<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>，且有<math>c\ne 0</math>：

• 若<math>c</math>為 正數 且 <math>a > b</math>；則 <math>ac > bc</math>。
• 若<math>c</math>為 正數 且 <math>a < b</math>；則 <math>ac < bc</math> 。
• 若<math>c</math>為 負數 且 <math>a > b</math>；則 <math>ac < bc</math> 。
• 若<math>c</math>為 負數 且 <math>a < b</math>；則 <math>ac > bc</math>。

注意：當遇上不等關係求解時，比如已知 <math>A>B</math>，<math>C>D</math>，不可以認為 <math>A-C>B-D</math>，但根據此描述可知 <math>A-D>B-C</math> 是真的。

連鎖表示法

• <math>a < b < c</math> 代表「<math>a < b</math> 且 <math>b < c</math>」。
• <math>a \le b \le c</math> 代表「<math>a \le b</math> 且 <math>b \le c</math>」。
• <math>a < b \le c</math> 代表「<math>a < b</math> 且 <math>b \le c</math>」。
• <math>a \le b < c</math> 代表「<math>a \le b</math> 且 <math>b < c</math>」。

舉例

• 若<math>x>0</math> ；則

<math>x^x \ge \left( \frac{1}{e}\right)^\frac{1}{e},</math>

• 若<math>x>0</math>；則

<math>x^{x^x} \ge x\,</math>

• 若<math>x,y,z>0</math>；則

<math>(x+y)^z + (x+z)^y + (y+z)^x > 2\,</math>

• 若<math>x,y,z>0</math>；則

<math>x^x y^y z^z \ge (xyz)^\frac{x+y+z}{3},</math>

• 若<math>a,b>0</math>；則

<math>a^a + b^b \ge a^b + b^a\,</math>

• 若<math>a,b>0</math>；則

<math>a^{ea} + b^{eb} \ge a^{eb} + b^{ea}\,</math>

• 若<math>a,b,c>0</math>；則

<math>a^{2a} + b^{2b} + c^{2c} \ge a^{2b} + b^{2c} + c^{2a}\,</math>

• 若<math>a_1,\ldots,a_n>0</math>；則

<math>a_1^{a_2}+a_2^{a_3}+\cdots+a_n^{a_1}>1</math>

• 對於實數 <math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>、<math>d</math>，若 <math>a < b</math> 且 <math>c < d</math>；則

  <math>a + c < b + d</math>

  例-1

  證明
  <math>a < b</math> (10) [前提] <math>c < d</math> (15) [前提] <math>a - b< 0</math> (20) 源自 (10) <math>0 < d - c</math> (25) 源自 (15) (20) 及 (25) 經由遞移性質可以得到 <math>a - b < d - c</math> (30) 源自 (20) (25) <math>a - b + (b + c) < d - c + (b + c)</math> (35) 源自 (30) <math>a + c < b + d</math> (40) 源自 (35) [結論]

• 對於實數 <math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>、<math>d</math>，若 <math>a < b</math> 且 <math>c < d</math>；則

<math>a - d < b - c</math>

例-2

證明
<math>a < b</math> (45) [前提] <math>c < d</math> (50) [前提] <math>- c > - d</math> (55) 源自 (50) <math>- d < - c</math> (60) 源自 (55) (45) 及 (60) 經由 (例-1) 可以得到 <math>a + (- d) < b + (- c)</math> (65) 源自 (45) (60) <math>a - d < b - c</math> (70) 源自 (65) [結論]

參見

• 二元關係
• 偏序關係
• 不等號
• 不等式列表