完全數

File:Perfect number Cuisenaire rods 6.png

以古氏積木演示完全數6

完全數（perfect number），又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然數：它所有的真因子（即除了自身以外的約數）的和，恰好等於它本身，完全數不可能是楔形數、平方數、佩爾數或費波那契數。

例如：第一個完全數是6，它有約數1、2、3、6，除去它本身6外，其餘3個數相加，<math>{ {{ {1}+{2} }}+{3} } = 6 </math>，恰好等於本身。第二個完全數是28，它有約數1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其餘5個數相加，<math>{ {{ {{ {{ {1}+{2} }}+{4} }}+{7} }}+{14} } = 28 </math>，也恰好等於本身。後面的數是496、8128。

十進位的5位數到7位數、9位數、11位數、13到18位數等位數都沒有完全數，它們不是虧數就是盈數。

完全數的發現

古希臘數學家歐幾里得是通過<math>2^{n-1} \times(2^n-1)</math> 的表達式發現前四個完全數的。

當<math>n=2:</math><math>{ {{ {2}^{1} }}\times {\left( { {{ {2}^{2} }}1} }\right) } } = 6 </math>

当<math>n=3:</math><math>{ {{ {2}^{2} }}\times {\left( { {{ {2}^{3} }{1} }\right) } } = 28 </math>

當<math>n=5:</math><math>{ {{ {2}^{4} }}\times {\left( { {{ {2}^{5} }}1} }\right) } } = 496 </math>

当<math>n=7:</math><math>{ {{ {2}^{6} }}\times {\left( { {{ {2}^{7} }{1} }\right) } } = 8128 </math>

一個偶數是完美數，當且僅當它具有如下形式：<math>2^{n-1}(2^n-1)</math>，其中<math>2^n-1</math>是質數，此事實的充分性由歐幾里得證明，而必要性則由歐拉所證明。

比如，上面的<math>6</math>和<math>28</math>對應着<math>n=2</math>和<math>3</math>的情況。我們只要找到了一個形如<math>2^n-1</math>的質數（即梅森質數），也就知道了一個偶完美數。

儘管沒有發現奇完全數，但是當代數學家奧斯丁·歐爾證明，若有奇完全數，則其形式必然是<math>12n+1</math>或<math>36n+9</math>的形式，其中<math>n</math>是整數。

首十個完全數是（OEIS A000396）：

1. 6（1位）
2. 28（2位）
3. 496（3位）
4. 8128（4位）
5. 33550336（8位）
6. 8589869056（10位）
7. 137438691328（12位）
8. 2305843008139952128（19位）
9. 2658455991569831744654692615953842176（37位）
10. 191561942608236107294793378084303638130997321548169216（54位）

歷史

古代數學家根據當時已知的四個完全數做了很多假設，大部分都是錯誤的。其中的一個假設是：因為 2、3、5、7 恰好是頭 4 個質數，第 5 個完全數應該是第 5 個質數，即當 <math>n=11</math> 的時候，可是 <math>2^{11}-1=23 \times 89</math> 並不是質數。因此 <math>n=11</math> 不是完全數。另外兩個錯誤假設是：

• 頭四個完全數分別是 1、2、3、4 位數，第五個應該是 5 位數。
• 完全數應該是交替以 6 或 8 結尾。

事實上，第五個完全數 <math>33550336=2^{12}(2^{13}-1)</math> 是 <math>8</math> 位數。

對於第二個假設，第五個完全數確實是以 <math>6</math> 結尾，但是1588年，意大利數學家彼得羅·卡塔爾迪計出第六個完全數 <math>8589869056</math>，仍是以 <math>6</math> 結尾，只能說歐幾里得的公式給出的完全數以 <math>6</math> 和 <math>8</math> 結尾。卡塔爾迪證明了此結論。此外，還計出第七個完全數137,438,691,328。

對完全數的研究，至少已經有兩千多年的歷史。《幾何原本》中就提出了尋求某種類型完全數的問題。

每一個梅森質數給出一個偶完全數；反之，每個偶完全數給出一個梅森質數，這結果稱為歐幾里得－歐拉定理。截至2024年10月 (2024-10)，共發現了52個完全數，且都是偶數。最大的已知完全數為<math>2^{136279840} \times (2^{136279841}-1)</math>共有<math>82048640</math>位數。

性質

以下是目前已發現的完全數共有的性質。

• 偶完全數都是以6或28結尾。
• 如果存在奇完全數，它在十二進制中必定以1, 09, 39, 69或99結尾。
• 而如果存在奇完全數，它在六進制中必定以01, 13, 21或41結尾。
• 除了6以外的偶完全數，把它的各位數字相加，直到變成個位數，那麼這個個位數一定是1：

<math> 28</math> → <math>2+8=10</math> → <math>1+0=1</math>
<math>496</math> → <math>4+9+6=19</math> → <math>1+9=10</math> → <math>1+0=1</math>

• 所有的偶完全數都可以表達為2的一些連續正整數次冪之和，從<math>2^{p-1}</math>到<math>2^{2p-2}</math>：

<math>6=2^1+2^2</math>
<math>28=2^2+2^3+2^4</math>
<math>496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8</math>
<math>8128=2^6+2^7+...+2^{12}</math>

• 每個偶完全數都可以寫成連續自然數之和：

<math>6=1+2+3</math>
<math>28=1+2+3+4+5+6+7</math>
<math>496=1+2+3+...+30+31</math>
<math>8128=1+2+3+...+126+127</math>

• 除6以外的偶完全數，還可以表示成連續奇立方數之和（被加的項共有<math>\sqrt{2^{p-1}}</math>)：

<math>28=1^3+3^3</math>
<math>496=1^3+3^3+5^3+7^3</math>
<math>8128=1^3+3^3+5^3+...+15^3</math>
<math>33550336=1^3+3^3+5^3+...+127^3</math>

• 每個完全數的所有約數（包括本身）的倒數之和，都等於2：（這可以用通分證得。因此每個完全數都是歐爾調和數。）

<math>\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} =\frac{6+3+2+1}{6}= 2</math>
<math>\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{7} + \frac{1}{14} + \frac{1}{28} = \frac{28+14+7+4+2+1}{28}=2</math>

• 它們的二進制表達式也很有趣：（因為偶完全數形式均如<math>2^{n-1}(2^n-1)</math>，所以左邊的１數量永遠比右邊的０多１個）

<math>(6)_{10}=(110)_2</math>
<math>(28)_{10}=(11100)_2</math>
<math>(496)_{10}=(111110000)_2</math>
<math>(8128)_{10}=(1111111000000)_2</math>
<math>(33550336)_{10}=(1111111111111000000000000)_2</math>
<math>(8589869056)_{10}=(111111111111111110000000000000000)_2</math>
<math>(137438691328)_{10}=(1111111111111111111000000000000000000)_2</math>

• 有趣的是，以繁體字書寫「完全數」剛好是28劃。

奇完全數

截至2024年6月30日，用計算機已經證實：在10²²⁰⁰以下，沒有奇完全數；至今還證明了，如果奇完全數存在，則它至少包含11個不同質數（包含一個不少於7位數的質因子）但不包含3，亦不會是立方數。一般猜測奇完全數是不存在的；完全數是否有無限多個也至今未能證明。

美國數學家卡爾·帕梅朗斯提出了一個想法說明奇完全數不太可能存在。

奇完全數的部分條件

• N > 10²²⁰⁰
• N是以下形式：

<math>N=q^{\alpha} p_1^{2e_1} \ldots p_k^{2e_k}, </math>

其中：

• q，p₁，…，p_k是不同的質數（Euler）。
• q ≡ α ≡ 1 (mod 4)（Euler）。
• N的最小質因子必須小於<math>\frac{k-1}{2}.</math>。
• <math>e_1</math>≡<math>e_2</math>...≡<math>e_k</math> ≡ 1（mod 3）的關係不能滿足（McDaniel 1970）。
• 要麼q^α > 10⁶²，要麼對於某個j有<math>p_j^{2e_j}</math> > 10⁶²。
• <math> N < 2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}</math>

• N必須可以寫成12n+1，468n+117或324n+81（n為整數）的形式。
• N不能被105整除。
• N的最大質因子必須大於10⁸，並低於 <math>(3N)^{1/3}</math>。。
• N的第二大質因子必須大於10⁴，並低於<math>(2N)^{1/5}</math>。 。
• N的第三大質因子必須大於100。
• N至少要有101個質因子，其中至少10個是不同的。 如果3不是質因子之一，則至少要有12個不同的質因子。

• 如果對於所有的i，都有<math>e_i</math> ≤ 2，那麼：
  • N的最小質因子必須大於739（Cohen 1987）。
  • α ≡ 1（mod 12）或α ≡ 9 (mod 12)（McDaniel 1970）。

圖查德定理

這個定理說明若存在奇完全數，其形式必如<math>12m+1</math>或<math>36q+9</math>。最初的證明在1953年由雅克·圖查德首先證明，1951年巴爾塔薩·范德波爾用非線性偏微分方程得出證明。茱蒂·霍爾德納在《美國數學月刊》第109卷第7期刊證了一個初等的證明。

證明會使用這四個結果：（下面的n,k,j,m,q均為正整數）

• 歐拉證明了奇完全數的形式必如<math>4j+1</math>。
• <math>\sigma(n)</math>表示<math>n</math>的正因數之和。完全數的定義即為<math>2n = \sigma(n)</math>。
  <math>\sigma(n)</math>為積性函數
• 引理（甲）：若<math>n=6k-1</math>（<math>k</math>是正整數），則<math>n</math>非完全數。
• 引理（乙）：若<math>n=4k-1</math>（<math>k</math>是正整數），則<math>n</math>非完全數。

引理的證明（甲）：

使用反證法，設<math>n</math>為完全數，且<math>n \equiv -1 \pmod{6}</math>。

<math>n \equiv -1 \pmod{3}</math>。因為3的二次剩餘只有0,1，故<math>n</math>非平方數，因此其正因數個數為偶數。

<math>n</math>有正因數<math>d</math>，則可得：

<math>d \equiv 1 \pmod{3}</math>且<math>n/d \equiv -1 \pmod{3}</math>；或

<math>d \equiv -1 \pmod{3}</math>且<math>n/d \equiv 1 \pmod{3}</math>。

因此，<math>(n/d + d) \equiv 0 \pmod{3}</math>。故<math>\sigma(n) = \sum_{ d < \sqrt{n} } d + n/d \equiv 0 \pmod{3}</math>。

但<math>2n \equiv 2(-1) \equiv 1 \pmod{3}</math>，矛盾。

故<math>n</math>的形式只可能為<math>6k+1</math>或<math>6k+3</math>。

引理的證明（乙）：

使用反證法，設<math>n</math>為完全數，且<math>n \equiv -1 \pmod{4}</math>。

<math>n \equiv -1 \pmod{4}</math>。因為4的二次剩餘只有0,1，故<math>n</math>非平方數，因此其正因數個數為偶數。

<math>n</math>有正因數<math>d</math>，則可得：

<math>d \equiv 1 \pmod{4}</math>且<math>n/d \equiv -1 \pmod{4}</math>；或

<math>d \equiv -1 \pmod{4}</math>且<math>n/d \equiv 1 \pmod{4}</math>。

因此，<math>(n/d + d) \equiv 0 \pmod{4}</math>。故<math>\sigma(n) = \sum_{ d < \sqrt{n} } d + n/d \equiv 0 \pmod{4}</math>。

但<math>2n \equiv 2(-1) \equiv 2 \pmod{4}</math>，矛盾。

故<math>n</math>的形式只可能為<math>4k+1</math>。

若<math>n=6k+1</math>，根據歐拉的結果，<math>n=4j+1</math>，綜合兩者，得<math>n=12m+1</math>。

若<math>n=6k+3</math>，<math>n=4j+1</math>，得<math>n=12m+9=3(4m+3)</math>。若<math>m</math>非3的倍數，3和<math>4m+3</math>互質。

因為<math>\sigma(n)</math>為積性函數，可得<math>\sigma(n)=\sigma(3) \sigma(4m+3) = 4 \sigma(4m+3) \equiv 0 \pmod{4}</math>。

但<math>2n=2(4j+1) \equiv 2 \pmod{4}</math>，出現了矛盾。故知<math>m</math>是3的倍數。代入<math>m=3q</math>，可得<math>n=36q+9</math>。

參考

• Odd Perfect Numbers（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Gagan Tara Nanda

參見

• 高合成數
• 婚約數
• 親和數
• 盈數
• 虧數
• 梅森質數
• 半完全數
• 佩服數
• 超完全數
• 梅森質數與完全數集合
• 笛卡爾數

外部連結

• Perfect number, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （English） 
• David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Perfect numbers – History and Theory（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• 埃里克·韋斯坦因. Perfect Number. MathWorld. 
• Sloane, N.J.A. (編). Sequence A000396 (Perfect numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
• OddPerfect.org A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers.
• Great Internet Mersenne Prime Search
• Perfect Numbers（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, math forum at Drexel.
• Grimes, James. 8128: Perfect Numbers. Numberphile. Brady Haran. [2015-01-10]. （原始內容存檔於2013-05-31）.