比
在數學中，比（ratio）是兩個非零「數」或非零「同類量」之間的比較關係，比另可用來表示部分佔全體的相對關係。兩數或兩量的比，一般用前後或上下並置表達，分別稱為前項與後項，記法為 <math>a:b</math>，讀作 a比b，如右圖之 4:3。比的另一種記法，是寫成分數形式，如上述 a比b，亦可寫作 <math>\frac{a}{b}</math> 。
「比值」與「比」在數學上是一對孿生術語，比值（ratio value，ratio）強調比的數值，是由比的關係所導引出的前項除以後項的數值（即「商」）；在某些語境下，比值也稱佔比（proportion，share）、比例、比率。比值按字面的原義，是兩者的倍數關係，進而引申為一個數或變量除以另一個數或變量的商值。由於比的數學的定義是兩數、兩同類量、兩同單位物理量相除，所以所得之商——比值——無單位[1]。
除了整數外，比值常用分數、小數、百分比來表示；小於 1的比值，又常被俗稱為比率，儘管漢語詞彙「比率」是一含糊概念，因其另一方面可表示數學的率。
「比」可含糊地表示一個數或量 a 擁有另一個數或量 b 的多少倍，而 b 能除盡 a 幾次；「比值」則可清晰地顯示第一個數是第二個數的幾倍，為一明確正實數（不一定為整數）[2]。
在物理學與工程學中，少數由於歷史因素的情況下，「比」的定義不符合純數學定義，可能是兩異類物理量相比，因此會出現單位，例如：能效比（energy efficiency ratio），單位常為 BTU/(h·W)。但是，在物理學與工程學中，「比」並不單獨作名詞使用，而是稱為某某比，且其用法少於某某「率」。單獨使用的「比」，作為動詞，例如：不同效應相比所得的商，常為重要參數或常數。此外，在英語中，「ratio」也意指「proportionality」（比例性）[3]，容易混淆。
比與除法[編輯]
比，依中國大陸義務教育課程及台灣國民中小學九年一貫課程，則定義為：兩個數相除。與除法不同的是其呈現兩個數或量的關係，而非像除法是一種運算。比，可以「分數」表示，也可以「比的形式」表示[4]；前者記作 <math>\frac{a}{b}</math>，後者記作 <math>a:b</math>，均讀作 a比b。其中區隔前項和後項的數學符號「<math>:</math>」稱作比號，比號前面的數稱為比的前項，表示要比較的對象。比號後面的數稱為比的後項，比的後項不能為零。比的前項除以後項所得的商，稱為比值。比值相當於商，是一個數，可為整數、小數、分數；因此廣義的「比」，表示法可為「整數」、「小數」、「分數」、「百分比」、「比號」的形式。
舉例[編輯]
舉例來說，若一碗水果中有八顆柳橙和六顆檸檬，則柳橙和檸檬的「比」是八比六（即<math>8 : 6</math>，相當於<math>4 : 3</math>的比），「比值」是 1.3333...。反過來說，檸檬與柳橙的比為<math>3 : 4</math>。此外，柳橙與所有水果之比為<math>4 : 7</math>（相當於<math>8 : 14</math>）。比<math>4 : 7</math>，亦可轉化為分數<math>\frac{4}{7}</math>，表示柳橙與所有水果的比，意即有多少水果是柳橙。
單位[編輯]
「比」在通常情況下，會將「兩個用相同的單位測量的量」相比，它們的比值（商）是無量綱數。若兩個量是用不同單位測量時，此比值（商）應被稱為「率」 [5]。
基準量與比較量[編輯]
兩個非零「同類量」做比較時，置於後項而當作1的量稱為基準量，置於前項被比較的量稱為比較量；比較量除以基準量所得的商，就是比值（比的數值）。表示比較量與基準量的關係，可以用比值（商）或比（具有前項、比號、後項）兩種方式。
與比例的區別[編輯]
「比例」則是「兩個比」相等的式子，表示同類型的「兩個比之間」的關係[6]（例如，物件，人，學生，或任何相同單位的數值）；因此，比值相等的兩個比才能組成比例。組成比例的四個數，稱為比例的項；等式最兩端的兩項稱為外項，等式中央的兩項稱為內項。與比不同的是：比由兩個數組成；比例由四個數組成。
與率的區別[編輯]
近代以英語主導科學定義下的「ratio」（比）和「rate」（率），是兩個相似卻在用法上有所區分的概念；但是漢語的「比」和「率」，由於漫長的歷史因素並未以科學精確區分，偶有混用，造成了有時不符合定義的稱呼；例如稱作「率」的圓周率、斜率、分率、打擊率，嚴謹來說，是一種「比」[7]。另一漢語詞彙 比率，在使用上更為含糊，一方面可表示率，另一方面也用來代表兩個數量的比或比值，這是比的值。
參考[編輯]
- ^ 趙怡欽. 比. 國家教育研究院. 2002-12 [2022-03-29]. （原始內容存檔於2021-03-29） （中文）.
- ^ Penny Cyclopedia, p. 307
- ^ 存档副本. [2022-03-30]. （原始內容存檔於2022-05-03）.
- ^ New International Encyclopedia
- ^ "The quotient of two numbers (or quantities); the relative sizes of two numbers (or quantities)", "The Mathematics Dictionary" [1] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
- ^ Wentworth, p. 55
- ^ 趙怡欽. 比. 國家教育研究院. 2002-12 [2022-03-30]. （原始內容存檔於2021-03-30） （中文）.
擴展閱讀[編輯]
- "Ratio" The Penny Cyclopædia vol. 19 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, The Society for the Diffusion of Useful Knowledge (1841) Charles Knight and Co., London pp. 307ff
- "Proportion" New International Encyclopedia, Vol. 19 2nd ed. (1916) Dodd Mead & Co. pp270-271 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
- "Ratio and Proportion" Fundamentals of practical mathematics, George Wentworth, David Eugene Smith, Herbert Druery Harper (1922) Ginn and Co. pp. 55ff （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
- The thirteen books of Euclid's Elements, vol 2. trans. Sir Thomas Little Heath (1908). Cambridge Univ. Press. : 112ff [2013-05-14]. （原始內容存檔於2020-08-03）.
- D.E. Smith, History of Mathematics, vol 2 Dover (1958) pp. 477ff
- Development of Multiplicative Reasoning in the Learning of Mathematics, p.189, Ratio vs. Rate （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）