交比
- <math>(z_1,z_2;z_3,z_4) = \frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}</math>。
一般來說，交比可以定義在射影直線（黎曼球面就是複射影直線）。在任何仿射坐標卡中，交比由上式給出。交比是射影幾何的不變量，就是說射影變換保持交比不變。 從前人們注意到如果四條直線穿過一點<math>P</math>，第五條直線<math>L</math>不穿過<math>P</math>，分別與四條直線交於四點，那麼在<math>L</math>上按序取四點的有向長度，所算出的交比是獨立於<math>L</math>。它是這四直線系的不變量。
對稱[編輯]
各著作對交比有不同定義，不過各定義只相異於某些坐標的置換。一般來說，根據點<math>z_i</math>所給出的各種次序，交比可以取六個不同的值。因為四個坐標有24種排列，有些置換保持交比不變。實際上，任意兩對坐標對換保持交比：
- <math>(z_1,z_2;z_3,z_4) = (z_2,z_1;z_4,z_3) = (z_3,z_4;z_1,z_2) = (z_4,z_3;z_2,z_1)\,</math>。
運用這些對稱，交比就有6個可能值，由點的次序決定：
| <math>(z_1, z_2; z_3, z_4) = \lambda\,</math> | <math>(z_1, z_2; z_4, z_3) = {1\over\lambda}</math> | |
| <math>(z_1, z_3; z_4, z_2) = {1\over{1-\lambda}}</math> | <math>(z_1, z_3; z_2, z_4) = 1-\lambda\,</math> | |
| <math>(z_1, z_4; z_3, z_2) = {\lambda\over{\lambda-1}}</math> | <math>(z_1, z_4; z_2, z_3) = {{\lambda-1}\over\lambda}</math> |
從群論來說，對稱群<math>S_4</math>以置換坐標來作用於交比上，這群作用的核為克萊因四元群（這是保持交比的群）。那麼有效對稱群是其商群，同構於<math>S_3</math>。
對某些<math>\lambda</math>值會有更強的對稱，交比的可能值就少於六個。這些<math>\lambda</math>值對應於<math>S_3</math>對黎曼球面的作用的不動點（由以上六個函數給出）；等價地，就是在置換群內有非平凡穩定子群的點。
第一個這樣的集合是<math>\{0, 1, \infty\}</math>。但若四點<math>z_i</math>相異，交比不可能取這些值。這些值是當有一對坐標彼此趨近時的極限值：
- <math>(z,z_2;z,z_4) = (z_1,z;z_3,z) = 0\,</math>
- <math>(z,z;z_3,z_4) = (z_1,z_2;z,z) = 1\,</math>
- <math>(z,z_2;z_3,z) = (z_1,z;z,z_4) = \infty\,</math>
第二個這樣的集點是<math>\{-1, \frac{1}{2}, 2 \}</math>。這情況古典上稱為「諧和交比」。最對稱的交比是當<math>\lambda = e^{\pm i\pi/3}</math>。這時交比只可能是這兩個值。
從變換出發[編輯]
交比為黎曼球面的射影變換所保持，也稱為莫比烏斯變換：
- <math>f(z) = \frac{az+b}{cz+d}\;,\quad ad-bc \ne 0</math>。
所謂它們保持交比就是指
- <math>(f(z_1), f(z_2); f(z_3), f(z_4)) = (z_1, z_2; z_3, z_4)\,</math>。
作用於黎曼球面上的麥比烏斯變換群有一性質：任意3點集要映射到另外的3點集，都存在唯一的麥比烏斯變換。（這個群作用有3重傳遞性。）所以給出黎曼球面上4點，有唯一變換把其中3點映射到點0，1，和∞。第四點映射到的點，與原來四點的交比有關。
要看到這點，注意到
- <math>(z,1;0,\infty) = \lim_{w\to\infty} \frac{z(1-w)}{z-w} = z\,</math>。
所以給出四點 <math>(z_1, z_2; z_3, z_4)</math>可以找到唯一變換f作映射
- <math>z_2 \to 1,\; z_3 \to 0,\; z_4 \to \infty</math>。
點<math>z_1</math>就被映射到<math>(z_1, z_2; z_3, z_4) = f(z_1)</math>。換個角度看，若把交比看為<math>z_1</math>的函數，交比是唯一的變換把點<math>(z_2, z_3, z_4)</math>映射到<math>(1,0,\infty)</math>。