子集
子集（英語：subset）亦稱部分集合，為某集合中部分元素的集合；這時某集合則被稱作這個子集的超集或母集。子集與超集的關係被稱為「包含」。
如果集合<math>A</math>的任意一個元素都是集合<math>B</math>的元素（<math>\forall x\left( {x \in A \rightarrow x \in B}\right)</math>，亦可寫作<math>\forall x \in A\left( {x \in B}\right)</math>），則集合<math>A</math>稱為集合<math>B</math>的子集，記為<math>A \subseteq B</math>或<math>B \supseteq A</math>，讀作「集合<math>A</math>包含於集合<math>B</math>」或「集合<math>B</math>包含集合<math>A</math>」。
即：<math>\forall x \in A</math>，有<math>x \in B</math>，則<math>A \subseteq B</math>。
若<math>A</math>和<math>B</math>為集合，且<math>A</math>的所有元素都是<math>B</math>的元素，則可表示為：
- <math>A</math>是<math>B</math>的子集（或稱<math>A</math>包含於 <math>B</math>）；<math>A\subseteq B</math>
- <math>B</math>是<math>A</math>的超集／母集（或稱<math>B</math>包含 <math>A</math>）；<math>B\supseteq A</math>
任何集合<math>B</math>皆是自身的子集（<math>B\subseteq B</math>）。而<math>B</math>的子集中不等於<math>B</math>的集合，稱為真子集，若<math>A</math>是<math>B</math>的真子集，寫作<math>A\subsetneqq B</math>。
定義[編輯]
假設有<math>A</math>和<math>B</math>兩個集合，如果<math>A</math>中的每個元素都在<math>B</math>中，則：
- <math>A</math>是<math>B</math>的子集，記作<math>A \subseteq B</math>
- 也可以說
- <math>B</math>是<math>A</math>的超集，記作<math>B \supseteq A</math>
如果<math>A</math>是<math>B</math>的子集，但<math>A</math>不等於<math>B</math>（即<math>B</math>中至少存在一個元素不在<math>A</math>中），則：
- <math>A</math>是<math>B</math>的真子集，記作<math>A \subsetneqq B</math>
- 也可以說
- <math>B</math>是<math>A</math>的真超集，記作<math>B \supsetneqq A</math>
符號[編輯]
ISO 80000-2標準中定義了兩種符號搭配：[1]
- 如果用<math>\subseteq</math>表示子集關係（包含關係），那麼用<math>\subset</math>表示真子集關係（真包含關係）。[2][3][4]
- 如果用<math>\subset</math>表示子集關係（包含關係），那麼用<math>\subsetneqq</math>表示真子集關係（真包含關係）。[5]: p.6
舉例[編輯]
- 集合<math>\left \{ 1,2 \right \}</math>是集合<math>\left \{ 1,2,3 \right \}</math>的真子集。
- 自然數集合是有理數集合的真子集。
- 集合<math>\{x:x</math>是大於2000的素數<math>\}</math>是集合<math>\{x:x</math>是大於1000的奇數<math>\}</math>的真子集。
- 任意集合是其自身的子集，但不是真子集。
- 空集，寫作<math>\varnothing</math>，是任意集合<math>X</math>的子集。空集總是其他集合的真子集，除了其自身。
性質[編輯]
命題1：空集是任意集合的子集。
這個命題說明：包含是一種偏序關係。
命題2：若<math>A,B,C</math>是集合，則：
- 自反性：
- <math>A\subseteq A</math>
- 反對稱性：
- 若<math>A\subseteq B</math>且<math>B\subseteq A</math>，則<math>A=B</math>
- 傳遞性：
- 若<math>A\subseteq B</math>且<math>B\subseteq C</math>，則<math>A\subseteq C</math>
這個命題說明：對任意集合<math>S</math>，<math>S</math>的冪集按包含排序是一個有界格，與上述命題相結合，則它是一個布爾代數。
命題3：若<math>A,B,C</math>是集合<math>S</math>的子集，則：
- 存在一個最小元和一個最大元：
- <math>\varnothing\subseteq A\subseteq S</math>（<math>\varnothing\subseteq A</math>由命題1給出）
- 存在並運算：
- <math>A\subseteq A\cup B</math>
- 若<math>A\subseteq C</math>且<math>B\subseteq C</math>，則<math>A\cup B\subseteq C</math>
- 存在交運算：
- <math>A\cap B\subseteq A</math>
- 若<math>C\subseteq A</math>且<math>C\subseteq B</math>，則<math>C\subseteq A\cap B</math>
命題4：對任意兩個集合<math>A</math>和<math>B</math>，下列表述等價：
- <math>A\subseteq B</math>
- <math>A\cap B=A</math>
- <math>A\cup B=B</math>
- <math>A-B=\varnothing</math>
- <math>B'\subseteq A'</math>
這個命題說明：表述"<math>A\subseteq B</math>"，和其他使用併集，交集和補集的表述是等價的，即包含關係在公理體系中是多餘的。
參考文獻[編輯]
- ^ ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics. ISO. 2019-08 [2023-7-24]. （原始內容存檔於2023-03-13） （English）.
- ^ 離散數學-第三章, [2012-09-07], （原始內容存檔於2012-07-03）
- ^ 剑桥大学国际考试院IGCSE数学考纲 (PDF), [2015-03-14], （原始內容存檔 (PDF)於2016-03-04）
- ^ Subsets and Proper Subsets (PDF), [2012-09-07], （原始內容 (PDF)存檔於2013-01-23）
- ^ Rudin, Walter, Real and complex analysis 3rd, New York: McGraw-Hill, 1987, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157
參見[編輯]
- 冪集：某集合的全部子集組成的集合。
