交集

在集合論和數學中，兩個集合<math>A</math>和<math>B</math>的交集（Intersection）是含有所有既屬於<math>A</math>又屬於<math>B</math>的元素，而沒有其他元素的集合。

有限交集

File:Set intersection.png

A和<math>B</math>的交集

交集是由公理化集合論的分類公理來確保其唯一存在的特定集合 <math>A \cap B</math> ：

<math>(\forall A)(\forall B)(\forall x)\left\{

   (x \in A \cap B)
   \Leftrightarrow
   \left[
       (x \in A)
       \wedge
       (x \in B)
   \right]

\right\} </math>

也就是直觀上：

<math>A</math>和<math>B</math>的交集寫作「<math>A\cap B</math>」，「對所有 <math>x</math> ， <math>x \in A \cap B</math> 等價於 <math>x \in A</math> 且 <math>x \in B</math>」

例如：集合<math>\{1,2,3\}</math>和<math>\{2,3,4\}</math>的交集為<math>\{2,3\}</math>。數字<math>9</math>不屬於素數集合<math>\{2,3,5,7,11,\ldots \}</math>和奇數集合<math>\{1,3,5,7,9,11,\ldots \}</math>的交集。

若兩個集合<math>A</math>和<math>B</math>的交集為空，就是說它們彼此沒有相同的元素，則他們不相交，寫作：<math>A\cap B = \varnothing</math>。例如集合<math>\{1,2\}</math>和<math>\{3,4\}</math>不相交，寫作<math>\{1,2\}\cap \{3,4\} = \varnothing</math>。

更一般的，交集運算可以對多個集合同時進行。例如，集合<math>A,B</math>，<math>C</math>和<math>D</math>的交集為<math>A\cap B\cap C\cap D =A\cap (B\cap (C\cap D))</math>。交集運算滿足結合律。即：

<math>A\cap (B\cap C) =(A\cap B)\cap C</math>

任意交集

以上定義可根據無限併集和補集來推廣到任意集合的交集。

取一個集合 <math>\mathcal{M}</math> ，則根據分類公理可以取以下唯一存在的集合：

<math>\bar{\mathcal{M}} :=\left\{

A \,|\, (\exists M \in \mathcal{M})(A = M^c) \right\}</math>。

也就是直觀上蒐集所有 <math>M^c</math> 的集合， 這樣的話有：

<math>x \in \bigcup\bar{\mathcal{M}}

\Leftrightarrow (\exists A)[

   (x \in A)
   \wedge
   (\exists M \in \mathcal{M})(A = M^c)

] </math>

根據一階邏輯的定理(Ce)，也就是：

<math>x \in \bigcup\bar{\mathcal{M}}

\Leftrightarrow (\exists M)[

   (M \in \mathcal{M})
   \wedge
   (x \notin M)
   \wedge
   (\exists A)(A = M^c)

]</math>

但根據一階邏輯的等式相關定理，下式：

<math>(\exists A)(A = M^c)</math>

顯然是個定理（也就是直觀上為真），故：

<math>x \in \bigcup\bar{\mathcal{M}}

\Leftrightarrow (\exists M \in \mathcal{M})(x \notin M)</math>

換句話說：

<math>x \in {\left(\bigcup\bar{\mathcal{M}}\right)}^c

\Leftrightarrow (\forall M \in \mathcal{M})(x \in M) </math>

那可以做如下的符號定義：

<math>\bigcap\mathcal{M}

=

{\left(\bigcup\bar{\mathcal{M}}\right)}^c</math>

稱為 <math>\mathcal{M}</math> 的任意交集或無限交集。也就是直觀上「對所有 <math>x</math> ， <math>x \in \bigcap\mathcal{M}</math> 等價於對任何 <math>\mathcal{M}</math> 的下屬集合 <math>M</math> ，都有 <math>x \in M</math>」

例如：

<math>A\cap B = \bigcap \{A,\,B\}</math>

類似於無限併集，無限交集的表示符號也有多種

可模仿求和符號記為

<math>\bigcap_{A\in \mathcal{M}} A</math>。

但大多數人會假設指標集 <math>I</math> 的存在，換句話說

若 <math>I \,\overset{A}{\cong}\, \mathcal{M} </math> 則 <math>\bigcap_{i\in I} A(i) := \bigcap \mathcal{M} </math>

在指標集 <math>I</math> 是自然數系 <math>\N</math> 的情況下，更可以仿無窮級數來表示，也就是說：

若 <math>\N \,\overset{A}{\cong}\, \mathcal{M}</math> 則 <math>\bigcap^{\infty}_{i = 1} A(i) := \bigcap \mathcal{M}</math>

也可以更粗略直觀的將 <math>\bigcap^{\infty}_{i = 1} A(i)</math> 寫作<math>A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap \ldots</math>。

參見

• 樸素集合論
• 併集
• 補集
• 對稱差