WKB近似

在量子力学里，WKB近似（英语：WKB approximation）是一种半经典计算方法，可以用来解析薛定谔方程。乔治·伽莫夫使用这方法，首先正确地解释了阿尔法衰变。WKB近似先将量子系统的波函数，重新打造为一个指数函数。然后，半经典展开。再假设波幅或相位的变化很慢。通过一番运算，就会得到波函数的近似解。

简略历史

WKB近似以三位物理学家格雷戈尔·文策尔、汉斯·克喇末和莱昂·布里渊姓氏字首命名。于1926年，他们成功地将这方法发展和应用于量子力学。不过早在1923年，数学家哈罗德·杰弗里斯就已经发展出二阶线性微分方程的一般的近似法。薛定谔方程也是一个二阶微分方程。可是，薛定谔方程的出现稍微晚了两年。三位物理学家各自独立地在做WKB近似的研究时，似乎并不知道这个更早的研究。所以物理界提到这近似方法时，常常会忽略了杰弗里斯所做的贡献。这方法在荷兰称为KWB近似，在法国称为BWK近似，只有在英国称为JWKB近似。

数学概念

一般而言，WKB近似专门计算一种特殊微分方程的近似解。这种特殊微分方程的最高阶导数项目的系数是一个微小参数<math>\epsilon\,\!</math>。给予一个微分方程，形式为

<math> \epsilon \frac{d^ny}{dx^n} + a(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n - 1}} + \cdots + k(x)\frac{dy}{dx} + m(x)y= 0\,\!</math>。

假设解答的形式可以展开为一个渐近级数：

<math> y(x) \sim \exp\left[\frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n(x)\right]\,\!</math>。

将这拟设代入微分方程。然后约去相同指数函数因子。又取<math>\delta \rightarrow 0\,\!</math>的极限。这样，就可以从<math>S_0(x)\,\!</math>开始，一个一个的解析这渐近级数的每一个项目<math>S_n(x)\,\!</math>。

通常<math>y(x)\,\!</math>的渐近级数会发散。当<math>n\,\!</math>大于某值后，一般项目<math>\delta ^n S_n(x)\,\!</math>会开始增加。因此WKB近似法造成的最小误差，约是最后包括项目的数量级。

数学例子

设想一个二阶齐次线性微分方程

<math> \epsilon^2 \frac{d^2 y}{dx^2} = Q(x) y \,\!</math>；

其中，<math>Q(x) \neq 0\,\!</math>。

猜想解答的形式为

<math>y(x) = \exp\left[\frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n(x)\right]\,\!</math>。

将猜想代入微分方程，可以得到

<math>\epsilon^2\left[\frac{1}{\delta^2}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n'\right)^2 + \frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n\right] = Q(x)\,\!</math>。

取<math>\delta \rightarrow 0\,\!</math>的极限，最重要的项目是

<math>\frac{\epsilon^2}{\delta^2}S_0'^2 \sim Q(x)\,\!</math>。

我们可以察觉，<math>\delta\,\!</math>必须与<math>\epsilon\,\!</math>成比例。设定<math>\delta=\epsilon\,\!</math>，则<math>\epsilon\,\!</math>的零次幂项目给出

<math>\epsilon^0: \qquad S_0'^2 = Q(x)\,\!</math>。

我们立刻认出这是程函方程。解答为

<math>S_0(x) = \pm \int_{x_0}^{x}\sqrt{Q(t)}\,dt\,\!</math>。

检查<math>\epsilon\,\!</math>的一次幂项目给出

<math>\epsilon^1:\qquad 2S_0'S_1' + S_0 = 0\,\!</math>。

这是一个一维传输方程。解答为

<math>S_1(x) = - \frac{1}{4}\ln\left(Q(x)\right) + k_1\,\!</math>；

其中，<math>k_1\,\!</math>是任意常数。

我们现在有一对近似解（因为<math>S_0\,\!</math>可以是正值或负值）。一般的一阶WKB近似解是这一对近似解的线性组合：

<math>y(x)\approx c_1Q^{ - \frac{1}{4}}(x)\exp\left[\frac{1}{\epsilon}\int_{x_0}^x\sqrt{Q(t)}dt\right] + c_2Q^{ - \frac{1}{4}}(x)\exp\left[ - \frac{1}{\epsilon}\int_{x_0}^x\sqrt{Q(t)}dt\right]\,\!</math>。

检查<math>\epsilon\,\!</math>的更高幂项目（<math>n>2\,\!</math>）可以给出：

<math> 2S_0'S_n' + S_{n - 1} + \sum_{j=1}^{n - 1}S'_jS'_{n - j} = 0\,\!</math>。

薛定谔方程的近似解

解析一个量子系统的薛定谔方程，WKB近似涉及以下步骤：

1. 将波函数重写为一个指数函数，
2. 将这指数函数代入薛定谔方程，
3. 展开指数函数的参数为约化普朗克常数的幂级数，
4. 匹配约化普朗克常数同次幂的项目，会得到一组方程，
5. 解析这些方程，就会得到波函数的近似。

一维不含时薛定谔方程为

<math> - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \psi(x) + V(x) \psi(x) = E \psi(x)\,\!</math>；

其中，<math>\hbar\,\!</math>是约化普朗克常数，<math>m\,\!</math>是质量，<math>x\,\!</math>是坐标，<math>V(x)\,\!</math>是位势，<math>E\,\!</math>是能量，<math>\psi\,\!</math>是波函数。

稍加编排，重写为

<math>\hbar^2\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \psi(x) =2m \left( V(x) - E \right) \psi(x)\,\!</math>。(1)

假设波函数的形式为另外一个函数<math>\phi\,\!</math>的指数（函数<math>\phi\,\!</math>与作用量有很密切的关系）：

<math>\psi(x) = e^{\phi(x)/\hbar} \,\!</math>。

代入方程(1)，

<math>\hbar\phi(x) +\left[\phi'(x)\right]^2=2m\left( V(x) - E \right)\,\!</math>；(2)

其中，<math>\phi'\,\!</math>表示<math>\phi\,\!</math>随着<math>x\,\!</math>的导数。

<math>\phi'\,\!</math>可以分为实值部分与虚值部分。设定两个函数<math>A(x)\,\!</math>与<math>B(x)\,\!</math>：

<math>\phi'(x) = A(x) + i B(x)\,\!</math>。

注意到波函数的波幅是<math>\exp\left[\int^x A(x')dx'/\hbar\right]\,\!</math>，相位是<math>\int^x B(x')dx'/\hbar\,\!</math>。将<math>\phi'\,\!</math>的代表式代入方程(2)，分别匹配实值部分、虚值部分，可以得到两个方程：

<math>\hbar A'(x) + A(x)^2 - B(x)^2 =2m \left( V(x) - E \right)\,\!</math>，(3)

<math>\hbar B'(x) + 2 A(x) B(x) = 0\,\!</math>。(4)

半经典近似

将<math>A(x)\,\!</math>与<math>B(x)\,\!</math>展开为<math>\hbar\,\!</math>的幂级数：

<math>A(x) =\sum_{n=0}^\infty \hbar^n A_n(x)\,\!</math>，

<math>B(x) =\sum_{n=0}^\infty \hbar^n B_n(x)\,\!</math>。

将两个幂级数代入方程(3)与(4)。<math>\hbar\,\!</math>的零次幂项目给出：

<math>A_0(x)^2 - B_0(x)^2 = 2m \left( V(x) - E \right)\,\!</math>，

<math>A_0(x) B_0(x) = 0\,\!</math>。

假若波幅变化地足够慢于相位（<math>A_0(x) \ll B_0(x)\,\!</math>），那么，我们可以设定

<math>A_0(x) = 0\,\!</math>，

<math>B_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) }\,\!</math>。

只有当<math>E\ge V(x) \,\!</math>的时候，这方程才成立。经典运动只会允许这种状况发生。

更精确一点，<math>\hbar\,\!</math>的一次幂项目给出：

<math>A_0'+2A_0 A_1 - 2B_0 B_1= - 2B_0 B_1=0\,\!</math>，

<math>B_0'+2A_0 B_1+2B_0 A_1=B_0'+2B_0 A_1=0\,\!</math>。

所以，

<math>B_1=0\,\!</math>，

<math>A_1= - \frac{B_0'}{2B_0}=\frac{d}{dx}ln B_0^{ - 1/2}\,\!</math>。

波函数的波幅是 <math>\exp\left[\int^x A(x')dx'/\hbar\right]=\frac{1}{\sqrt{B_0}}\,\!</math>。

定义动量<math>p(x) = \sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) }\,\!</math>，则波函数的近似为

<math>\psi(x) \approx \cfrac{C_{\pm}} {\sqrt{p(x)}} e^{\pm i \int_{x_0}^x p(x') \mathrm{d}x'/\hbar} \,\!</math>；(5)

其中，<math>C_+\,\!</math>和<math>C_{-}\,\!</math>是常数，<math>x_0\,\!</math>是一个任意参考点的坐标。

换到另一方面，假若相位变化地足够慢于波幅（<math>B_0(x) \ll A_0(x)\,\!</math>），那么，我们可以设定

<math>A_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( V(x) - E \right) }\,\!</math>，

<math>B_0(x) = 0\,\!</math>。

只有当<math>V(x)\ge E\,\!</math>的时候，这方程才成立。经典运动不会允许这种状况发生。只有在量子系统里，才会发生这种状况，称为量子隧穿效应。类似地计算，可以求得波函数的近似为

<math>\psi(x) \approx \frac{C_{\pm}} {\sqrt{p(x)}} e^{\pm\int_{x_0}^x p(x') \mathrm{d}x'/\hbar}\,\!</math>；(6)

其中，<math>p(x) = \sqrt{ 2m \left(V(x) - E\right) }\,\!</math>。

连接公式

显而易见地，我们可以从分母观察出来，在经典转向点<math>E = V(x)\,\!</math>，这两个近似方程(5)和(6)会发散，无法表示出物理事实。我们必须正确地找到波函数在经典转向点的近似解答。设定<math>x_1< x< x_2\,\!</math>是经典运动允许区域。在这区域内，<math>E>V(x)\,\!</math>，波函数呈振动形式。其它区域<math>x<x_1\,\!</math>和<math>x_2< x\,\!</math>是经典运动不允许区域，波函数呈指数递减形式。假设在经典转向点附近，位势足够的光滑，可以近似为线性函数。更详细地说，在点<math>x_2\,\!</math>附近，将 <math>\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right)\,\!</math>展开为一个幂级数：

<math>\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right) = U_1(x - x_2) + U_2(x - x_2)^2 + \cdots\,\!</math>；

其中，<math>U_1,\,U_2,\,\cdots\,\!</math>是常数值系数。

取至一阶，方程(1)变为

<math>\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \psi(x) = U_1(x - x_2) \psi(x)\,\!</math>。

这微分方程称为艾里方程，其解为著名的艾里函数：

<math>\psi(x) = C_{2A} \textrm{Ai}\left( \sqrt[3]{U_1}(x - x_2) \right) + C_{2B} \textrm{Bi}\left( \sqrt[3]{U_1}(x - x_2) \right)\,\!</math>。

匹配艾里函数和在<math>x< x_2\,\!</math>的波函数，在<math>x_2< x\,\!</math>的波函数，经过一番繁杂的计算，可以得到在<math>x_2\,\!</math>附近的连接公式（connection formula）：

<math>\psi(x) =

\begin{cases}

 \cfrac{2C_2}{\sqrt{p(x)}} \sin \left(\cfrac{1}{\hbar}\int_x^{x_2} p(x')dx'+\cfrac{\pi}{4}\right) & \mbox{if } x<x_2 \\
 \cfrac{C_2}{\sqrt{|p(x)|}} \exp\left( - \int_{x_2}^x |p(x')|dx'/{\hbar}\right) & \mbox{if } x_2<x 

\end{cases}\,\!</math> 。

类似地，也可以得到在<math>x_1\,\!</math>附近的连接公式：

<math>\psi(x) =

\begin{cases}

 \cfrac{C_1}{\sqrt{|p(x)|}} \exp\left( - \int_x^{x_1} |p(x')|dx'/{\hbar}\right) & \mbox{if } x<x_1 \\
 \cfrac{2C_1}{\sqrt{p(x)}} \sin \left(\cfrac{1}{\hbar}\int_{x_1}^{x} p(x')dx'+\cfrac{\pi}{4}\right) & \mbox{if } x_1<x 

\end{cases}\,\!</math> 。

量子化规则

在经典运动允许区域<math>x_1< x< x_2\,\!</math>内的两个连接公式也必须匹配。设定角变量

<math>\theta_1= - \frac{1}{\hbar}\int_{x_1}^{x} p(x')dx' - \frac{\pi}{4}\,\!</math>，

<math>\theta_2=~\frac{1}{\hbar}\int_x^{x_2} p(x')dx' + \frac{\pi}{4}\,\!</math>，

<math>\alpha=\int_{x_1}^{x_2} p(x)dx/\hbar\,\!</math>。

那么，

<math>\alpha=\theta_2 - \theta_1 - \pi/2\,\!</math>，

<math> - C_1 \sin \theta_1=C_2 \sin \theta_2=C_2\sin(\theta_1+\alpha+\pi/2)\,\!</math>。

立刻，我们可以认定<math>|C_1|=|C_2|\,\!</math>。匹配相位，假若<math>C_1=C_2\,\!</math>，那么，

<math>\alpha+\pi/2=(2m - 1)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!</math>。

所以，

<math>\alpha=(2m - 3/2)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!</math>。

假若<math>C_1= - C_2\,\!</math>，那么，

<math>\alpha+\pi/2=2m\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!</math>。

所以，

<math>\alpha=(2m - 1/2)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!</math>。

总结，量子系统必须满足量子化守则：

<math>\int_{x_1}^{x_2} p(x)dx =(n - 1/2)\pi\hbar,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!</math>。

范例

考虑一个量子谐振子系统，一个质量为<math>m\,\!</math>的粒子，运动于谐振位势<math>V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2 x^2\,\!</math>；其中，<math>\omega\,\!</math>是角频率。求算其本征能级<math>E_n\,\!</math>？

能量为<math>E\,\!</math>的粒子，其运动的经典转向点<math>x_t\,\!</math>为

<math>E=\frac{1}{2}m\omega^2 x_t^2\,\!</math>。

所以，

<math>x_t=\pm \sqrt{\frac{2E}{m\omega^2 }}\,\!</math>。

粒子的动量为

<math>p(x)=\sqrt{2m\left(E - \frac{1}{2}m\omega^2 x^2\right)}\,\!</math>。

将这些变量代入量子化守则：

<math>\int_{ - 2E/m\omega^2}^{2E/m\omega^2}\,\sqrt{2m\left(E - \frac{1}{2}m\omega^2 x^2\right)}\,dx=(n - 1/2)\pi\hbar,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!</math>。

经过一番运算，可以得到本征能量

<math>E_n=(n - 1/2)\omega\hbar,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!</math>。

借由以上之计算，发现近似解与精确解完全一样。

参阅

• 摄动理论 (量子力学)
• 量子隧穿效应
• 旧量子论

参考文献

现代文献

• Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics (4th ed.). Addison-Wesley. 2003. ISBN 0-8053-8714-5. 
• Sakurai, J. J. Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley. 1993. ISBN 0-201-53929-2. 
• Bender, Carl; Orszag, Steven. Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers. McGraw-Hill. 1978. ISBN 0-07-004452-X. 

历史文献

• Jeffreys, Harold. On certain approximate solutions of linear differential equations of the second order. Proceedings of the London Mathematical Society. 1924, 23: 428–436 [2008-11-19]. （原始内容存档于2013-05-03）. 
• Brillouin, Léon. La mécanique ondulatoire de Schrödinger: une méthode générale de resolution par approximations successives. Comptes Rendus de l'Academie des Sciences. 1926, 183: 24–26. 
• Kramers, Hendrik A. Wellenmechanik und halbzählige Quantisierung. Zeitschrift der Physik. 1926, 39: 828–840. 
• Wentzel, Gregor. Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik. Zeitschrift der Physik. 1926, 38: 518–529.