Lax 对

Lax 对定义。一个非线性偏微分方程

<math>F(x,t,u,\dots)=0</math>

的Lax 对 是一对线性微分算子

<math> L=L(u,\lambda)</math>

<math> M=M(u,\lambda)</math>

<math>[L,M] =LM-ML</math> 是交换子。

如果 <math>F(x,t,u,\dots)=0</math>可以表示为 Lax 方程：

<math>L_t+[L,M]=0</math> , 且 <math>L \phi=\lambda(t) \phi</math> , 则 <math>\lambda_t=0</math> , 并且 <math> \phi </math> 满足

<math>\phi_t=M\phi</math>

高维Lax对

1972年V.E.Zakharov,A.B.Shabat,将Lax对推广到高维

对于两个 线性方程 <math>\phi_x=A\phi,\phi_t=B\phi</math>

其中A、B是 n x n 维矩阵; 或者更一般地，A和B可以是李代数g的元素; g可以是无限维的，参见 例如 及其中的参考文献 。

定义 <math>A_t-B_x+[A,B]=0</math> 为两个 线性方程 <math>\phi_x=A\phi,\phi_t=B\phi</math>的相容条件。

实例

KdV 方程 的Lax对为

<math>L=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+u</math>

<math>M=-4\frac{\partial^3}{\partial x^3}+6 u \frac{\partial}{\partial x}+3\frac{\partial u}{\partial x}</math>

非线性薛定谔方程

<math>\mathbf{A} =i\lambda \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & -1 \end{bmatrix}</math>+<math>i \begin{bmatrix}0 & q \\r & 0 \end{bmatrix}</math>

<math>\mathbf{B} =2i\lambda^2 \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & -1 \end{bmatrix}</math>+<math>2i\lambda \begin{bmatrix}0 & Q \\R & 0 \end{bmatrix}</math>+ <math>\begin{bmatrix}0 & q_x\\-r_x & 0 \end{bmatrix}</math>-<math>i \begin{bmatrix}rq & 0 \\0 & -rq \end{bmatrix}</math>

sine-Gordon方程

<math>\mathbf{A} =i\lambda \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & -1 \end{bmatrix}</math>+<math>i \begin{bmatrix}0 & q \\r & 0 \end{bmatrix}</math>

<math>\mathbf{B} =\frac{1}{4i\lambda} \begin{bmatrix}\cos u & -i\sin u \\i\sin u & -\cos u \end{bmatrix}</math>

Sinh-Gordon方程

<math>\mathbf{A} =i\lambda \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & -1 \end{bmatrix}</math>+<math>i \begin{bmatrix}0 & q \\r & 0 \end{bmatrix}</math>

<math>\mathbf{B} =\frac{1}{4i\lambda} \begin{bmatrix}coshu & -isinhu \\-isinhu & -coshu \end{bmatrix}</math>

KdV 方程

<math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix}i \lambda & 1 \\u & -i \lambda \end{bmatrix}</math>

<math>\mathbf{B} = \begin{bmatrix}4 i \lambda^3+2i\lambda u-u_x & 4 \lambda^2+2u \\4 \lambda^2 u+2i\lambda u_x+2u^2-u_{xx}+2 u^3 & 4 i \lambda^3+2i \lambda u^2 \end{bmatrix}</math>

mKdV方程

<math>\mathbf{A} =\begin{bmatrix}-i \lambda & u \\u & i \lambda \end{bmatrix}</math>

<math>\mathbf{B} = \begin{bmatrix}-4i \lambda^3-2i \lambda u^2 & 4 \lambda^2 u+2i \lambda u_x-u_{xx}+2u^3 \\4\lambda^2u-2i \lambda u_x-u_{xx}+2u^2 & 4i \lambda^3+2i\lambda u^2 \end{bmatrix}</math>

切触Lax对

参考文献

• Inna Shingareva, Carlos Lizarraga-Celaya, Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple and Mathematica, Springer Wien New York