格林函数
在数学中，格林函数（点源函数、影响函数）是一种用来解有初始条件或边界条件的非齐次微分方程的函数。在物理学的多体理论中，格林函数常常指各种关联函数，有时并不符合数学上函数的定义。
格林函数的名称是来自于英国数学家乔治·格林（George Green），早在1830年代，他是第一个提出这个概念的人。
定义以及用法[编辑]
给定流形<math>M\,</math>上的微分算子 <math>L\,</math>，其格林函数<math>G(x,s)\, s,x\in M</math>，为以下方程的解
- <math>L G (x,s) = \delta(x-s) \ \ \ \ \ (1)</math>
其中 <math>\delta\,</math> 为狄拉克δ函数。此技巧可用来解下列形式的微分方程：
- <math>L u(x) = f(x) \ \ \ \ (2)</math>
若<math>L</math>的 零空间非平凡，则格林函数不唯一。不过，实际上因着对称性、边界条件或其他的因素，可以找到唯一的格林函数。一般来说，格林函数只是一个广义函数。
格林函数在凝聚态物理学中常被使用，因为格林函数允许扩散方程式有较高的精度。在量子力学中，哈密顿算子的格林函数和状态密度有重要的关系。由于扩散方程式和薛定谔方程有类似的数学结构，因此两者对应的格林函数也相当接近。
动机[编辑]
若可找到线性算符 <math>L\,</math> 的格林函数 <math>G\,</math>，则可将 (1) 式两侧同乘<math>f(s)\,</math>，再对变量 <math>s\,</math> 积分，可得：
- <math>\int L G(x,s) f(s) ds = \int \delta(x-s)f(s) ds = f(x).</math>
由公式 (2) 可知上式的等号右侧等于 <math>Lu(x)\,</math>，因此：
- <math>Lu(x) = \int L G(x,s) f(s) ds.</math>
由于算符 <math>L\,</math> 为线式，且只对变量 <math>x\,</math> 作用，不对被积分的变量 <math>s\,</math> 作用），所以可以将等号右边的算符 <math>L\,</math> 移到积分符号以外，可得：
- <math>Lu(x) = L\left(\int G(x,s) f(s) ds\right).</math>
而以下的式子也会成立：
- <math>u(x) = \int G(x,s) f(s) ds . \ \ \ \ (3)</math>
因此，若知道 (1) 式的格林函数，及 (2) 式中的 <math>f(x)</math>，由于 <math>L</math> 为线性算符，可以用上述的方式得到 <math>u(x)</math>。换句话说， (2) 式的解 <math>u(x)</math> 可以由 (3) 式的积分得到。若可以找到满足 (1) 式的格林函数 <math>G</math> ，就可以求出 <math>u(x)</math>。
并非所有的算符 <math>L</math> 都存在对应的格林函数。格林函数也可以视为算符 <math>L</math> 的左逆元素。撇开要找到特定算符的格林函数的难度不论，(3) 式的积分也很难求解，因此此方法只能算是提供了一个理论上存在的解法。
格林函数可以用来解非齐次的微-积分方程──多半是施图姆-刘维尔问题。若 <math>G</math> 是算符 <math>L</math> 的格林函数，则方程式 <math>Lu = f</math> 的解 <math>u</math> 为
- <math> u(x) = \int{ f(s) G(x,s) \, ds}. </math>
可以视为 <math>f</math> 依狄拉克 <math>\delta</math> 函数的基底展开，再将所有投影量叠加的结果。以上的积分为弗雷德霍姆积分方程。
非齐次边界值问题的求解[编辑]
格林函数的主要用途是用来求解非齐次的边界值问题。在近代的理论物理中，格林函数一般是用来作为费曼图中的传播子，而“格林函数”一词也用来表示量子力学中的关联函数。
研究框架[编辑]
令 <math> L </math> 为一个施图姆-刘维尔算子，是一个以以下形式表示的线性微分算子
- <math> L = {d \over dx}\left[ p(x) {d \over dx} \right] + q(x) </math>
而 <math>D</math> 是边界条件算子
- <math> Du = \left\{\begin{matrix} \alpha _1 u'(0) + \beta _1 u(0) \\ \alpha _2 u'(l) + \beta _2 u(l) \end{matrix}\right. </math>
令 <math> f(x) </math> 为在 <math>[0,l]</math> 区间的连续函数，并假设以下问题
- <math> \begin{matrix}Lu = f \\ Du = 0 \end{matrix} </math>
有正则特牲；即其齐次问题只存在寻常解。
定理[编辑]
则存在唯一解 <math> u(x)\,</math> 满足以下方程式
- <math> \begin{matrix}Lu = f \\ Du = 0 \end{matrix} </math>
而其解的计算方式如下
- <math> u(x) = \int_0^\ell f(s) g(x,s) \, ds </math>
而中 <math> g(x,s)\,</math> 即为格林函数，有以下的特性：
- <math> g(x,s)\,</math> 对 <math> x \,</math> 及 <math> s \,</math> 连续。
- 对所有 <math> x \ne s </math>, <math> L g ( x, s ) = 0 \,</math>.
- 对所有 <math> s \ne 0, l </math>, <math> D g ( x, s ) = 0 \,</math>.
- 微分跳跃：<math> g ' ( s_{ + 0}, s ) - g ' (s_{ - 0}, s ) = 1 / p(s) \,</math>.
- 对称：<math> g(x, s) = g(s, x) \,</math>.
寻找格林函数[编辑]
特征向量展开[编辑]
若一微分算子 <math> L </math> 有一组完备的特征向量 <math> \Psi_n(x) </math>（也就是一组函数 <math>\Psi_n(x)</math> 及标量 <math>\lambda_n</math> 使得 <math>L \Psi_n = \lambda_n \Psi_n</math> 成立）则可以由特征向量及特征值产生格林函数。
先假设函数 <math> \Psi_n(x) </math> 满足以下的完备性：
- <math> \delta(x - x') = \sum_{n=0}^\infty \Psi_n(x) \Psi_n(x').</math>
经由证明可得下式：
- <math> G(x, x') = \sum_{n=0}^\infty \frac{\Psi_n(x) \Psi_n(x')}{\lambda_n}.</math>
若在等号两侧加上微分算子 <math> L </math>，则可以证明以上假设的完备性。
有关以上格林函数的进一步研究，及格林函数和特征向量所组成空间的关系，则为弗雷德霍姆理论所要探讨的内容。
拉普拉斯算子的格林函数[编辑]
先由格林定理开始：
- <math> \int_V (\phi\nabla^2\psi - \psi\nabla^2\phi) dV = \int_S (\phi\nabla\psi - \psi\nabla\phi)\cdot d\hat\sigma</math>
假设线性算符 <math> L </math> 为拉普拉斯算子 <math>\nabla^2</math>，而 <math>G</math> 为拉普拉斯算子的格林函数。则因为格林函数的定义，可得下式：
- <math>L G(x,x') = \nabla^2 G(x,x') = \delta(x-x')</math>
令格林定理中的 <math>\,\!\psi = G</math>，可得：
- <math> \int_V \phi(x') \delta(x - x')\ d^3x' - \int_V G(x,x') \nabla^2\phi(x')\ d^3x' = \int_S \phi(x')\nabla' G(x,x') - G(x,x')\nabla'\phi(x') \cdot d\hat\sigma' \ \ \ \ \ (4)</math>
根据上式，可以解拉普拉斯方程 <math>\nabla^2\phi(x)=0</math> 或 泊松方程 <math>\nabla^2\phi(x)=-4\pi\rho(x)</math>，其边界条件可以为狄利克雷边界条件或是诺伊曼边界条件。换句话说，在以下任一个条件成立时，可以解一空间内任一位置的 <math>\,\!\phi(x)</math>：
- 已知 <math>\,\!\phi(x)</math> 在边界上的值（狄利克雷边界条件）。
- 已知 <math>\,\!\phi(x)</math> 在边界上的法向导数（诺伊曼边界条件）。
若想解在区域内的 <math>\,\!\phi(x)</math>，由于狄拉克 <math>\delta</math> 函数的特性，(4) 式等号左边的第一项
- <math>\int\limits_V {\phi(x')\delta(x-x')\ d^3x'}</math>
可化简为 <math>\,\!\phi(x)</math> ，再将 (4) 式等号左边第二项 <math> \nabla^2\phi(x') </math> 用 <math>\,\!\rho'(x')</math> 表示，（若为泊松方程，<math>\,\!\rho'(x)=-4\pi\rho(x)</math>，若为拉普拉斯方程，<math>\,\!\rho'(x)=0</math>），可得：
- <math>\phi(x) = \int_V G(x,x') \rho'(x')\ d^3x' + \int_S \phi(x')\nabla' G(x,x') - G(x,x')\nabla'\phi(x') \cdot d\hat\sigma' \ \ \ \ \ (5)</math>
上式即为调和函数（harmonic function）的特性之一：若边界上的值或法向导数已知，则可以求出区域内每个位置的数值。
在静电学中，<math>\,\!\phi(x)</math> 为电位，<math>\,\!\rho(x)</math> 为电荷密度，而法向导数 <math>\nabla\phi(x')\cdot d\hat\sigma'</math> 则为电场在法向的分量。
若目前的边界条件为狄利克雷边界条件，可以选择在 <math>x</math> 或 <math>x'</math> 在边界时，其值也为 0 的格林函数。若边界条件为诺伊曼边界条件，可以选择在 <math>x</math> 或 <math>x'</math> 在边界时，其法向导数为 0 的格林函数。因此 (5) 式等号右侧的二个积分项有一项为 0 ，只剩下一项需计算。
在自由空间的情形下（此时可将边界条件视为：<math> \lim_{\hat x \to \infty} \phi(x) = 0 </math>），拉普拉斯算子的格林函数为：
- <math> G(\hat x, \hat x') = \frac{1}{|\hat x - \hat x'|}</math>
若 <math>\,\!\rho(\hat x)</math> 为电荷密度，则可得到电荷密度和电位 <math>\,\!\phi(\hat x)</math> 的公式：
- <math>\phi(\hat x) = \int_V \frac{\rho(x')}{|\hat x - \hat x'|} \ d^3x'</math>
范例[编辑]
针对以下微分方程
- <math> \begin{matrix}Lu\end{matrix} = u ' ' + u = f( x ) </math>
- <math> Du = u(0) = 0 \quad, \quad u\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 </math>
找出格林函数。
第 1 步
根据定理中，格林函数的特性 2，可得
- <math> g(x,s) = c_1 (s) \cdot \cos x + c_2 (s) \cdot \sin x </math>
在 <math>x<s</math> 时因特性 3 可知
- <math> g(0,s) = c_1 (s) \cdot 1 + c_2 (s) \cdot 0 = 0, \quad c_1 (s) = 0 </math>
（此时不需考虑 <math> g(\frac{\pi}{2},s) = 0 </math> 的式子，因 <math> x \ne \frac{\pi}{2}</math>）在 <math>x>s</math> 时因特性 3 可知
- <math> g(\frac{\pi}{2},s) = c_1 (s) \cdot 0 + c_2 (s) \cdot 1 = 0, \quad c_2 (s) = 0 </math>
（此时不需考虑 <math> \quad g(0,s) = 0 </math> 的式子，因 <math> x \ne 0 </math>）整理上述的结果，可得以下的式子。
- <math> g(x,s)=\left\{\begin{matrix}
a(s) \sin x, \;\; x < s \\ b(s) \cos x, \;\; s < x \end{matrix}\right. </math>
第 2 步
依格林函数的特性，找出 <math>a(s)</math> 和 <math>b(s)</math>.
根据特性 1，可得
- <math> a(s) \sin s = b(s) \cos s\quad </math>.
根据特性 4，可得
- <math> b(s) \cdot [ - \sin s ] - a(s) \cdot \cos s = \frac{1}{1} = 1\, .</math>
解上述二式，可以求出 <math>a(s)</math> 和 <math>b(s)</math>
- <math> a(s) = - \cos s \quad ; \quad b(s) = - \sin s </math>.
因此格林函数为
- <math> g(x,s)=\left\{\begin{matrix}
-1 \cdot \cos s \cdot \sin x, \;\; x < s \\ -1 \cdot \sin s \cdot \cos x, \;\; s < x \end{matrix}\right. </math> 对照此解和格林函数的特性 5，可知此解也满足特性 5 的要求。
其他举例[编辑]
- 若流形为 <math>\mathbb{R}</math>，而线性算符 <math>L</math> 为 <math>d/dx</math>，则单位阶跃函数 <math>H(x-x_0)</math> 为 <math>L</math> 在 <math>x_0</math> 处的格林函数。
- 若流形为第一象限平面 <math>\{(x,y): x,y\geq 0\}</math> 而线性算符 <math>L</math> 为拉普拉斯算子，并假设在 <math>x = 0</math> 处有狄利克雷边界条件，而在 <math>y = 0</math> 处有诺依曼边界条件，则其格林函数为
- <math>G(x, y, x_0, y_0)=\frac{1}{2\pi}\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y-y_0)^2}\right]</math>
- <math>+\frac{1}{2\pi}\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y+y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y+y_0)^2}\right].</math>
参见[编辑]
参考[编辑]
- Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9.（其中的第五章介绍如何使用格林函数解静电场的边界值问题）
- A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
- A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9