GPY筛法
GPY筛法（Goldston-Pintz-Yıldırım sieve）是一种筛法，这种筛法是塞尔伯格筛法的一种带有一般、多维筛选权重的变体。这种筛法已为解析数论的研究带来多项突破。
这种筛法以Goldston、Pintz和Yildirim这三位数学家为名。[1]他们在2005年时以此筛法证明说根据质数定理，可推出存在有无限多的质数组，其间隔任意地小于质数的平均间隔。
张益唐后来修改此筛法，以证明说两个相隔质数间出现无限多次的最小间隔的有限界限为何。[2]之后詹姆斯·梅纳德（他把上述的界限降到<math>600</math>[3]）及陶哲轩都曾修改此筛法。
GPY筛法[编辑]
表记[编辑]
首先固定<math>k\in \N</math>，之后定义以下表记：
- <math>\mathbb{P}</math>是质数集合，且<math>1_{\mathbb{P}}(n)</math>是这集合的特征方程。
- <math>\Lambda(n)</math>是冯·曼戈尔特函数。
- <math>\omega(n)</math>是用以计算<math>n</math>的不同质因数个数的小写俄梅戛函数。
- <math>\mathcal{H}=\{h_1,\dots,h_k\}</math>是一组相异的非负整数<math>h_i\in\Z_+\cup \{0\}</math>的集合。
- <math>\theta(n)</math>是另一个关于质数的特征函数，其定义如下：
- <math>\theta(n)=\begin{cases} \log(n) & \text{if }n\in \mathbb{P}\\ 0 & \text{else.}\end{cases}</math>
- 其中<math>\theta(n)=\log((n-1)1_{\mathbb{P}}(n)+1)</math>。
对于<math>\mathcal{H}</math>有以下定义：
- <math>\mathcal{H}(n):=(n+h_1,\dots,n+h_k)</math>，
- <math>P_{\mathcal{H}}(n):=(n+h_1)(n+h_2)\cdots (n+h_k)</math>
- <math>\nu_p(\mathcal{H})</math>是<math>\mathcal{H}</math>模<math>p</math>的相异同余类个数。像例如因为<math>\{0,2,4\}\stackrel{\pmod{3}}{=}\{0,1,2\}</math>且<math>\{0,2\}\stackrel{\pmod{3}}{=}\{0,2\}</math>之故，因此有<math>\nu_3(\{0,2,4\})=3</math>以及<math>\nu_3(\{0,2\})=2</math>。
假若对所有的<math>p\in \mathbb{P}</math>而言，都有<math>\nu_p(\mathcal{H})<k</math>的话，则称<math>\mathcal{H}</math>为“可及的”（admissible）。
构造[编辑]
设<math>\mathcal{H}=\{h_1,\dots,h_k\}</math>为“可及的”，并考虑以下筛函数（sifting function）：
- <math>\mathcal{S}(N,c;\mathcal{H}):=\sum\limits_{n=N+1}^{2N}\left(\sum\limits_{h_i\in \mathcal {H}}1_{\mathbb{P}}(n+h_i)-c\right)w(n)^2,\quad w(n)\in \R,\quad c>0.</math>
那么对任意的<math>n\in [N+1,2N]</math>而言，这函数即是计算扣掉某个门槛<math>c</math>之后，形如<math>n+h_i</math>的质数的个数的函数，故在<math>\mathcal{S}>0</math>的情况下，有某数<math>n</math>使得至少<math>\lfloor c \rfloor +1</math>是<math>\mathcal{H}(n)</math>中的质数。
由于<math>1_{\mathbb{P}}(n)</math>的解析性质没那么好之故，因此可改用下列的筛函数：
- <math>\mathcal{S}(N;\mathcal{H}):=\sum\limits_{n=N+1}^{2N}\left(\sum\limits_{h_i\in \mathcal{H}}\theta(n+h_i)-\log(3N)\right)w(n)^2.</math>
由于<math>\log(N)<\theta(n+h_i)<\log(2N)</math>且<math>c=\log(3n)</math>之故，我们仅在存在<math>n+h_i</math>及<math>n+h_j</math>这两个质数的状况下，有<math>\mathcal{S}>0</math>。我们接下来要做的，就是寻找权重函数<math>w(n)</math>以便能测得质数k元组。
权重的派生[编辑]
一个权重函数的可能候选，是一般化的冯·曼戈尔特函数：
- <math>\Lambda_k(n)=\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)\left(\log\left(\frac{n}{d}\right)\right)^k,</math>
这函数有如次的性质：若<math>\omega(n)>k</math>，则<math>\Lambda_k(n)=0</math>。虽说这函数也会测得形式为质数幂的因子，但在应用中，这些因子可在仅造成可忽略误差的状况下移除。[1]: 826
因此在<math>\mathcal{H}(n)</math>是质数k元组的状况下，以下方程不会消失：
- <math>\Lambda_k(n;\mathcal{H})=\frac{1}{k!}\Lambda_k(P_{\mathcal{H}}(n))</math>
其中<math>1/k!</math>这因子仅仅是因方便计算而选取。
（古典）冯·曼戈尔特函数可以截形冯·曼戈尔特函数来估计：
- <math>\Lambda(n)\approx \Lambda_R(n):=\sum\limits_{\begin{array}{c} d\mid n\\ d\leq R \end{array}}\mu(d)\log\left(\frac{R}{d}\right),</math>
其中<math>R</math>不再表示<math>\mathcal{H}</math>的长度，但用以决定截取点。类似地我们可以下式估计<math>\Lambda_k(n;\mathcal{H})</math>：
- <math>\Lambda_R(n;\mathcal{H})=\frac{1}{k!}\sum\limits_{\begin{array}{c} d\mid P_{\mathcal{H}}(n)\\ d\leq R \end{array}}\mu(d)\left(\log\left(\frac{R}{d}\right)\right)^k</math>
因为技术理由，我们会希望估计在多个部分中带有质数的数组，而非再引入另一个参数<math>0\leq \ell \leq k</math>的状况下仅仅估计质数组，因此我们可选取<math>k+\ell</math>或较不相异的质因数。而这引出了下列的最终形式：
- <math>\Lambda_R(n;\mathcal{H},\ell)=\frac{1}{(k+\ell)!}\sum\limits_{\begin{array}{c} d\mid P_{\mathcal{H}}(n)\\ d\leq R \end{array}}\mu(d)\left(\log\left(\frac{R}{d}\right)\right)^{k+\ell}</math>
在不引入<math>\ell</math>这额外参数的状况下，对不同的<math>d=d_1d_2\cdots d_k</math>有<math>d_1\leq R, d_2\leq R, \dots ,d_k\leq R</math>这样的限制；但借由引入此参数，我们可得到更宽松的限制<math>d_1d_2\dots d_k\leq R</math>。[1]: 827
故对于<math>k</math>维的筛法问题，我们有<math>k+\ell</math>维的筛法。[4]
GPY筛法[编辑]
GPY筛法有下列形式：
- <math>\mathcal{S}(N;\mathcal{H},\ell):=\sum\limits_{n=N+1}^{2N}\left(\sum\limits_{h_i\in \mathcal{H}}\theta(n+h_i)-\log(3N)\right)\Lambda_R(n;\mathcal{H},\ell)^2,\qquad |\mathcal{H}|=k</math>
其中
- <math>\Lambda_R(n;\mathcal{H},\ell)=\frac{1}{(k+\ell)!}\sum\limits_{\begin{array}{c} d\mid P_{\mathcal{H}}(n)\\ d\leq R \end{array}}\mu(d)\left(\log\left(\frac{R}{d}\right)\right)^{k+\ell},\quad 0\leq \ell\leq k</math>.[1]: 827–829
Goldston、Pintz及Yıldırım三氏对主定理的证明[编辑]
在考虑<math>(\mathcal{H}_1,\ell_1, k_1)</math>、<math>(\mathcal{H}_2,\ell_2, k_2)</math>以及<math>1\leq h_0\leq R</math>并定义<math>M:=k_1+k_2+\ell_1+\ell_2</math>的情况下，Goldston、Pintz及Yıldırım三氏在他们的论文中，以两个定理证明了在合适的条件下，以下两个渐近形式成立。这两个形式分别为
- <math>\sum\limits_{n\leq N}\Lambda_R(n;\mathcal{H}_1,\ell_1)\Lambda_R(n;\mathcal{H}_2,\ell_2) = C_1\left(\mathcal{S}(\mathcal{H}^{i})+o_M(1)\right)N</math>
以及
- <math>\sum\limits_{n\leq N}\Lambda_R(n;\mathcal{H}_1,\ell_1)\Lambda_R(n;\mathcal{H}_2,\ell_2)\theta(n+h_0)
= C_2\left(\mathcal{S}(\mathcal{H}^j)+o_M(1)\right)N</math> 其中<math>C_1,C_2</math>是两个常数，<math>\mathcal{S}(\mathcal{H}^{i})</math>及<math>\mathcal{S}(\mathcal{H}^{j})</math>是两个奇异级数（singular series），其描述在此省略。
最后我们可将此结果套用在<math>\mathcal{S}</math>之上，以得到Goldston、Pintz及Yıldırım三氏“存在有无限多的质数组，其间隔任意地小于质数的平均间隔”的结果。[1]: 827–829
注解[编辑]
- ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Goldston, Daniel A.; Pintz, János; Yıldırım, Cem Y. Primes in Tuples I. Annals of Mathematics. 2009, 170 (2): 819–862. doi:10.4007/annals.2009.170.819 可免费查阅.
- ^ Zhang, Yitang. Bounded gaps between primes. Annals of Mathematics. 2014, 179: 1121–1174. doi:10.4007/annals.2014.179.3.7 可免费查阅.
- ^ Maynard, James. Small gaps between primes. Annals of Mathematics. 2015, 181 (1): 383–413. arXiv:1311.4600 可免费查阅. doi:10.4007/annals.2015.181.1.7.
- ^ Goldston, Daniel A.; Pintz, János; Yıldırım, Cem Y.; Graham, Sidney W. Small gaps between primes or almost primes. Transactions of the American Mathematical Society. 2009, 361 (10): 7. arXiv:math/0506067 可免费查阅.
