Artin群

数学上，阿廷群（或Artin group、称广义辫群），是指有如下展示的群：

<math>\Big\langle x_1,x_2,\ldots,x_n \Big| \langle x_i, x_j \rangle^{m_{i,j}}=\langle x_j, x_i \rangle^{m_{j,i}}, i,j\in \{1,2,\ldots, n\}, i\neq j \Big\rangle</math>

其中

<math>m_{i,j} = m_{j,i} \in \{2,3,\ldots, \infty\}</math>.

对<math>m < \infty</math>，<math>\langle x_i, x_j \rangle^m</math>表示长度为<math>m</math>的<math>x_i</math>和<math>x_j</math>的交错积，以<math>x_i</math>开首。例如：

<math>\langle x_i, x_j \rangle^3 = x_ix_jx_i</math>，

<math>\langle x_i, x_j \rangle^4 = x_ix_jx_ix_j</math>。

若<math>m=\infty</math>，按惯例这表示<math>x_i</math>和<math>x_j</math>间没有关系。

在整数<math>m_{i,j}</math>中加入<math>m_{i,i}=1</math>，可以组成一个对称矩阵，称为这个群的考克斯特矩阵（Coxeter matrix）。在Artin群中加入所有形为<math>{x_i}^2=1</math>的关系，得到的商群是考克斯特群。这个考克斯特群和原本的Artin群有相同的生成元和考克斯特矩阵。从Artin群到对应的考克斯特群的群同态的核，称为纯阿廷群（pure Artin group）。

Artin群的类

辫群是Artin群的一种，其考克斯特矩阵为<math>m_{i,i+1} = 3</math>，及当<math>|i-j|>1</math>时<math>m_{i,j}=2</math>。

用Artin群的考克斯特矩阵，可以定义出数类重要的Artin群：

有限型Artin群

若M是有限型考克斯特矩阵，使对应的考克斯特群W = A(M)是有限群，那么Artin群A = A(M)称为有限型Artin群（Artin group of finite type）。其“不可约型”标记为A_n , B_n = C_n , D_n , I₂(n) , F₄ , E₆ , E₇ , E₈ , H₃ , H₄ 。一个有限型纯Artin群，可以表现为Cⁿ中一个有限超平面配置的补集的基本群。皮埃尔·德利涅和Brieskorn-Saito用了这个几何描述，算出A的中心、上同调，及解出字问题和共轭问题。

直角Artin群

若矩阵M中除对角线外的元素都是2或∞，则对应的Artin群称为直角Artin群（right-angled Artin group）。这类Artin群常用以下的方式标记：任何一个有n个顶点的图 Γ，顶点标记为1, 2, …, n，都可定义一个矩阵M，其中若i和j在Γ中相连，则m_ij = 2，否则m_ij = ∞。与矩阵M对应的直角Artin群A(Γ)有n个生成元x₁, x₂, …, x_n及关系

<math> x_i x_j = x_j x_i \quad </math>若i和j在<math>\Gamma</math>中相连。

直角Artin群包括了有限秩的自由群，对应无边线的图，及有限生成的自由阿贝尔群，对应完全图。事实上每个秩为r的直角Artin群都是一个秩为r-1的直角Artin群的HNN扩张，两个极端例子是自由积和直积。这个构造法有一个推广称为群的图积（graph product of groups）。直角Artin群是群的图积的特例，其中每个顶点群都是秩1自由群（即无限循环群）。

Mladen Bestvina和Noel Brady建构了一个非正曲立方复形（nonpositively curved cubical complex）K，其基本群是一个给定的直角Artin群A(Γ)。他们在Artin群的几何描述上用莫尔斯理论来论证，给出具有性质(FP₂)的非有限展示群的第一批例子。

其他Artin群

若一个Artin群或一个考克斯特群的对应矩阵中，对所有i ≠ j都有m_{i, j} ≥ 3，称这个群是大型（large type）的；若对所有i ≠ j都有m_{i, j} ≥ 4，则称这个群是超大型（extra-large type）的。

凯尼斯·阿佩尔和P.E. Schupp探讨Artin群的性质，证明了四条定理。这些定理之前已知对考克斯特群成立，而他们证明对Artin群也成立。他们发现可以使用小消去理论的技巧研究超大型Artin群和考克斯特群，并可以把技巧改进来用在那些大型的群中。

他们证明的定理为：

1. 设G为超大型Artin或考克斯特群。若J ⊆ I，则G_J有一个展示由考克斯特矩阵M_J定义，且G_J在G中的广义字问题可解。若J, K ⊆ I则G_J ∩ G_K = G _{(J ∩ K)}.
2. 超大型Artin群是无扭（即无有限目的元素）的。
3. 设G为超大型Artin群，则集合{a_i² : i ∈ I}自由生成G的一个自由子群。
4. 超大型Artin或考克斯特群的共轭问题可解。

参考

• Mladen Bestvina, Noel Brady, Morse theory and finiteness properties of groups. Invent. Math. 129 (1997), no. 3, 445-470.
• Pierre Deligne, Les immeubles des groupes de tresses généralisés. Invent. Math. 17 (1972), 273-302.
• Egbert Brieskorn, Kyoji Saito, Artin-Gruppen und Coxeter-Gruppen. Invent. Math. 17 (1972), 245--271.
• Ruth Charney, An introduction to right-angled Artin groups（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Montserrat Casals-Ruiz and Ilya V. Kazachkov, On systems of equations over free partially commutative groups（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Evgenii S. Esyp, Ilya V. Kazachkov, and Vladimir N. Remeslennikov, Divisibility theory and complexity of algorithms for free partially commutative groups（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Susan Hermiller, John Meier, Algorithms and geometry for graph products of groups（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Appel, Kenneth I., and P. E. Schupp. Artin Groups and Infinite Coxeter Groups. Inventiones Mathematicae 72.2 (1983): 201-220