半长轴

File:Ellipse semi-major and minor axes.svg

椭圆的半长轴 (a) 和半短轴 (b)。

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椭圆的半长轴 （a） 和半短轴 （b）。

半长轴（长半轴）是几何学中圆锥曲线最长的半径或长轴的一半，因此是从中心穿过焦点到到周边的最长线段。而长轴（或主轴）是几何学中椭圆最长的直径：是一条贯穿中心和焦点，末端位于周边中相距最远的两个点的线段。椭圆或双曲线的半短轴是一条与半长轴处于直角的线段，并且一端位于圆锥截面的中心。对于圆的特殊情况，半轴的长度都等于圆的半径。

椭圆的半长轴a的长度通过离心率e和圆锥参数<math>\ell</math>与半短轴的长度b有关，如下所示：

根据定义，双曲线的半长轴是两个分支之间距离的正负二分之一。因此，它是从中心到双曲线的顶点的距离。

抛物线可以作为椭圆序列的极限，其中一个焦点保持固定，而另一个焦点可以沿一个方向任意移动，保持<math>\ell</math>固定。因此a和 b趋于无穷大，a比b快。

长轴和短轴是曲线的对称轴：在椭圆中，短轴较短；在双曲线中，它与双曲线不相交。

椭圆

椭圆的方程式是:

其中(h, k)是笛卡尔坐标系中椭圆的中心，其中任意点由(x, y)给出。

半长轴是椭圆距焦点的最大和最小距离<math>r_\text{max}</math>和<math>r_\text{min}</math>的平均值— 即从焦点到长轴端点的距离

{2}.</math>}}

在天文学中，这些极值点称为拱点。

一个椭圆的长轴是内部最长的直径，会通过中心和两个焦点，末端结束于椭圆曲线最宽处。半长轴是长轴的一半，始于中心点经过一个焦点并终结于椭圆的边界。在特殊状况a=b中，半长轴就是半径。

半长轴的长度 <math>a\!</math> 与半短轴 <math>b\,\!</math> 的关系可以经由离心率<math>e\,\!</math>和半正焦弦<math>\ell\,\!</math>推导如下：

<math>b = a \sqrt{1-e^2}\,\!</math>

<math>\ell=a(1-e^2)\,\!</math>.

<math>a\ell=b^2\,\!</math>.

抛物线可以被视为是椭圆的极限，将一个焦点固定，而另一个焦点被随意的移至无穷远处的方向上，但<math>\ell\,\!</math>仍保持不变。因此<math>a\,\!</math>和<math>b\,\!</math>趋于无限大，<math>a\,\!</math>仍比<math>b\,\!</math>长。

半长轴是椭圆的一个焦点至边界的最大距离和最小距离的平均值。现在考虑在极坐标中的方程式，其中一个焦点位于原点，另一个焦点在x轴上，

<math>r(1-e\cos\theta)=l\,\!</math>.

均值由<math>r={\ell\over{1+e}}\,\!</math>和<math>r={\ell\over{1-e}}\,\!</math>，是 <math>a={\ell\over{1-e^2}}\,\!</math>.

双曲线（又称半实轴）

双曲线的半长轴是两个分支之间距离的一半。如果a是在X-轴的方向上，则方程式可以表示为：

<math>\frac{\left( x-h \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-k \right)^2}{b^2} = 1</math>

在这个项目中的半正焦弦和离心率如下：

<math>a={\ell\over e^2-1 }</math>

双曲线的横轴延伸方向与半长轴的方向一致。

天文学

轨道周期

File:Solar system orbital period vs semimajor axis.svg

某些太阳系轨道（十字表示开普勒值）的轨道周期 T 与半长轴 a（远日点和近日点的平均值）的双对数图，显示a³/T²是常数（绿线）

在太空动力学，以圆或椭圆轨道环绕中心天体运转的小天体的轨道周期<math>T</math>，是：

<math>T = 2\pi\sqrt{a^3/\mu}</math>

此处：

<math>a</math>，是轨道的半长轴

<math> \mu</math>是标准重力参数

无论离心率是如何，半长轴相同的椭圆都有相同的轨道周期。

在天文学，是轨道的轨道元素中最重要的，他决定了轨道周期。对太阳系内的天体，半长轴与轨道周期的关系由开普勒第三定律（原本只是经验公式）来描述：

<math>T^2 \propto a^3</math>，

此处T是周期，单位为年；a是半长轴，单位为AU。这个形式就是牛顿的二体问题简化后的形式：

<math>T^2= \frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3</math>，

此处G是重力常数，M是中心天体的质量，而m是轨道上天体的质量。通常，当中心天体的值量远大于环绕的天体时，m的质量可以忽略不计。座著这样的假设和简化之后，开普勒发现的以天文单位简化的形式就出现了。

值得注意的是，在轨道上的天体和主要的天体环绕着质心运动的路径都是椭圆形。在天文学上的半长径总是主、伴两星之间的距离，因此行星的轨道参数都是以太阳为中心的项目。在"主体为中心"和"绝对"轨道之间的差别通过对地月系统的认是说明可以有更清楚的认识。质量的比是81.30059，地心的月球轨道半长轴是384,400公里；另一方面，"质心"的月球轨道半长轴是379,700公里，两著的差别是4,700公里。月球相对于质心的平均轨道速度是1.010公里/秒，地球是0.012公里/秒，两者之和是1.022公里/秒；同样的，以地心的半长轴得到的月球轨道速度也是1.022公里/秒。

平均距离

经常会说半长轴是主伴两天体的平均距离，其实这样说是不够精确的，这与如何取得平均值有关。

• 对偏近点角（q.v.）的平均距离的确就是半长轴。
• 对真近点角（从焦点上测量的真实轨道角度）的结果，说也奇怪，是轨道半短轴：<math>b = a \sqrt{1-e^2}\,\!</math>。

• 最后，是对平近点角（以角度表示，经过近心点之后所经历轨道周期的分数），是对时间的平均数（通常是对门外汉所谓的"平均"）：<math>a(1 + \frac{e^2}{2})\,\!</math>。

椭圆的平均半径，是以几何上的中心来测量的，其值为<math>\sqrt{ab} = a\sqrt[4]{1-e^2}\,\!</math>。

时间的平均值与半径成反比，<math>r^{-1}\,\!</math>，是<math>a^{-1}\,\!</math>。

能量：由状态向量的半长轴计算

在太空动力学半长轴<math>a </math>，可以从轨道状态向量得到：

<math> a = { - \mu \over {2\epsilon}}</math>（椭圆轨道）

<math> a = {\mu \over {2\epsilon}}</math>（双曲线弹道）

<math> \epsilon = { v^2 \over {2} } - {\mu \over \left | \mathbf{r} \right |} </math>（特殊轨道能量）

<math> \mu = GM </math>（标准重力参数）

此处：

• <math> v</math>，是从速度向量得到的轨道上物体的轨道速度，
• <math> \mathbf{r }</math>，是在笛卡尔坐标系上、相对于位置向量用于计算的轨道元素（即，对环绕地球的物体是以地球中心和赤道为基准，或对环绕太阳的天体是以太阳中心和黄道为基准），
• <math> G </math>，是重力常数，
• <math> M </math>，是中心天体的质量。

对特定的中心天体和总比能，无论离心率是多少，半长轴是一个定值。换言之，对特定的一个中心天体和半长轴，具有的总比能是一个定值。

例子

国际太空站的轨道周期是91.74分，它的轨道半长轴是6,738公里。

外部链接

• Semi-major and semi-minor axes of an ellipse（页面存档备份，存于互联网档案馆） With interactive animation