纯态
通过垂直平面偏振器（3）之后，光子处于垂直偏振纯态（4），密度矩阵为
纯态（pure state）这个名词出现在几个领域，包括物理方面的量子力学以及数学方面的泛函分析理论。
量子力学[编辑]
在量子力学当中，纯态由一个相同统计系综(ensemble)所构成，而相对于纯态的混态(mixed state)则可以分解两个以上的系综。在量子力学中有诸多表示型(formalism)，一个量子态可由密度矩阵或称密度算符表示，区分纯态和混态的方法即可由此得之。纯态S可用狄拉克符号的右括向量表示：
- <math>S = | \Psi \rangle </math>
或写成密度矩阵表示型则为：
- <math>S = \rho = | \Psi \rangle \langle \Psi |</math>
给定的量子态对应不同的右矢（相差一个相位），<math>| \Psi' \rangle = e^{i \phi} | \Psi \rangle </math>，但对应唯一的密度矩阵<math>\rho </math>，从这个角度说，密度矩阵表示更为经济[1]。由此推广，可以用密度矩阵表示定义更一般的态，
- <math>S = \rho = \sum_{i=1}^N c_i | \Psi_i \rangle \langle \Psi_i |</math>
其中，<math>\{ | \Psi_i \rangle \}</math>是一组（不一定互相正交的）纯态，且<math>0 < c_i \leq 1</math>并满足<math>\displaystyle {\textstyle \sum_i} c_i = 1</math>。注意数<math>N</math>并不受希尔伯特空间维数的限制。
混态[编辑]
对于密度矩阵<math>\rho</math>表述的量子态，若其不能写作纯态的密度矩阵（其中<math>N=1</math>且<math>c_1=1</math>），则称作混态。
区分纯态与混态[编辑]
区分纯态与混态的方法要利用到<math>tr(\rho) \,</math>。<math>tr(\rho) \,</math>表示对矩阵<math>\rho \,</math>取对角线元素和(trace)，将纯态和混态做归一化动作，使得<math>tr(\rho) \,</math>之值皆会是1。
而两者不同处在于<math>tr(\rho^2) \,</math>：归一化过的纯态<math>tr(\rho^2)=tr(\rho)=1 \,</math>，而归一化过的混态则<math>tr(\rho^2)<1 \,</math>，和<math>tr(\rho)=1 \,</math>不同，由此得以辨别出纯态与混态。
举例[编辑]
<math>\rho_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}</math>为纯态，<math>\rho_2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}</math>为混态
- <math>\Rightarrow tr(\rho_1)=tr(\rho_2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1</math>
<math>\rho_1^2 = \rho_1 * \rho_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}</math>； <math>\rho_2^2 = \rho_2 * \rho_2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} \end{pmatrix}</math>。
- <math>\Rightarrow tr(\rho_1^2)=tr(\rho_1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1</math>；<math>tr(\rho_2^2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \ne tr(\rho_2) = 1</math>
量子退相干现象的过程中，与环境的相互作用会让密度矩阵的非对角线元素(off-diagonal elements)随时间衰减到0。也就是说在这个例子，随着时间<math>t \,</math>逐渐增加，原本纯态，
- <math>\rho_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} e^{-\frac{t}{T_2}} \\ \frac{1}{2} e^{-\frac{t}{T_2}} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \Rightarrow \rho_1(t=0) = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}</math>
演化为混态，
- <math> \overset{t \rightarrow \infty}{\to} \rho_2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}</math>
泛函分析[编辑]
参阅[编辑]
参考资料[编辑]
- ^ {S. VanEnk, "Mixed states and pure states," [Online Note]. University of Oregon. Available: https://pages.uoregon.edu/svanenk/solutions/Mixed_states.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆） [Accessed: September 25, 2023]}