波包
在任意时刻，波包（脚本错误：没有“Lang”这个模块。）是局限在空间的某有限范围区域内的波动，在其他区域的部分非常微小，可以被忽略。波包整体随着时间流易移动于空间。波包可以分解为一组不同频率、波数、相位、波幅的正弦波，也可以从同样一组正弦波构成；在任意时刻，这些正弦波只会在空间的某有限范围区域相长干涉，在其它区域会相消干涉。[1]Template:R/superscript[2]Template:R/superscript描绘波包轮廓的曲线称为包络线。依据不同的演化方程，在传播的时候，波包的包络线（描绘波包轮廓的曲线）可能会保持不变（没有色散），或者包络线会改变（有色散）。
在量子力学中，波包可以用来代表粒子，表示粒子的几率波；也就是说，表现于位置空间，波包在某时间、位置的波幅平方，就是找到粒子在那时间、位置的几率密度；在任意区域内，波包所囊括面积的绝对值平方，就是找到粒子处于那区域的几率。粒子的波包越狭窄，则粒子位置的不确定性越小，而动量的不确定性越大；反之亦然。这位置的不确定性和动量的不确定性，两者之间无可避免的关系，是不确定性原理的一个标准案例。[1]Template:R/superscript
描述粒子的波包满足薛定谔方程，是薛定谔方程的数学解。通过含时薛定谔方程，可以预测粒子随着时间演化的量子行为。这与在经典力学里的哈密顿表述很类似。[3]Template:R/superscript
历史背景[编辑]
早在十七世纪，艾萨克·牛顿就提出了光微粒说，即光是由很多离散的粒子所构成，其中每一个粒子都遵守牛顿运动定律。他的主要反对者罗伯特·虎克、克里斯蒂安·惠更斯则主张光波动说：光是一种传播于介质中的波动。十九世纪，物理学者发现，在许多实验中，光表现出波动行为。其中一个特别着名的实验是双缝实验，这是英国物理学者托马斯·杨于1801年完成的实验。从这实验观察到的干涉图样给予光微粒说严重打击，因为光微粒说无法说明这现象，而光波动说可以。很多物理学者因此改变立场，采纳了光波动说。
在20世纪初，科学家发现古典力学存在着很多严峻问题，越来越多实验结果无法用古典理论来解释。到了1930年代，物理学者开始采纳波粒二象性，即物质具有波动性与粒子性。在这段时期，量子力学如火如荼的发展造成了理论方面的重大突破。许多困惑物理学者多年的实验结果，都能够得到圆满合理的解释。例如，1905年，阿尔伯特·爱因斯坦对光电效应的理论解析。按照爱因斯坦的理论解析，光的能量并非均匀分布，而是负载于离散的量子包，现称为光子。每个光子的能量<math>E</math>与频率<math>\nu</math>之间的关系为
- <math> E =h\nu </math>；
其中，<math>h</math>是普朗克常数。
在光电效应里，光子的频率必须超过被冲击金属的特征极限频率（对应于金属的逸出功），才能使金属表面的电子获得足够能量逃逸出来，否则，不论辐照率有多高，都无法使得电子从金属表面逃逸出来。
二十世纪，量子力学持续地蓬勃发展。它所展现的绘景是一种粒子世界。在这粒子世界里，每一种物质都是由粒子形成，每一种现象都是由粒子彼此互相作用而产生；可是，这些粒子的量子行为都是用几率波来描述。所有的量子行为都被约化为这些几率波的演化。至今，量子世界的粒子性已被许多实验证实，波动现象可以被诠释为粒子的波包秉性的特征后果。
范例[编辑]
非色散传播[编辑]
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举一个非色散传播范例，思考波动方程式：
- <math>\nabla^2 u=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}</math>；
其中，<math>u</math>是波动函数，<math>t</math>是时间，<math>v</math>是波动在某介质里的传播速度。
采用物理时间常规<math>e^{- i\omega t}</math>，波动方程式的平面波解是
- <math> u(\mathbf{x},\,t) = e^{i{(\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}} - \omega t)} </math>；
其中，<math>\mathbf{x}</math>是位置向量，<math>\mathbf{k}</math>是波数向量，<math>\omega</math>是角频率。
为了满足平面波为波动方程式的解，角频率和波数的色散关系为
- <math>\omega^2 =|\mathbf{k}|^2 v^2=(k_x^2+k_y^2+k_z^2)v^2</math>。
为了便于计算，只考虑波传播于一维空间，则波动方程式的一般解是
- <math> u(x,\,t)= A e^{i(kx - \omega t)} + B e^{ - i(kx+\omega t)} </math>；
其中，方程式右边的第一项表示往正<math>x</math>方向传播的波动，第二项表示往负<math>x</math>方向传播的波动。
波包是在局部区域里一组波的叠加。假若，波包是强劲存在于局部区域，则需要更多的频率来达成局部区域内的相长叠加，与局部区域外的相消叠加。这样，从基本平面波解，一般的波包可以表示为
- <math> u(x,\,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{ \infty}_{ - \infty} A(k) ~ e^{i(kx - \omega(k)t)} \ dk </math>；
其中，因子<math>1/\sqrt{2\pi} </math>是由傅立叶变换的常规而设定，振幅<math>A(k)</math>是线形叠加的系数函数。
逆反过来，系数函数可以表达为
- <math> A(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\,\infty}_{ - \infty} u(x,\,0) ~ e^{ - ikx}\,dx </math>；
其中，<math>u(x,\,0)</math>是波包在初始时间<math>t=0</math>的函数形式。
所以，知道波包在时间<math>t=0</math>的函数形式<math>u(x,\,0)</math>，应用傅立叶变换，可以计算出波包在任何时间的函数形式<math>u(x,\,t)</math>。
例如，选择初始时间的函数形式为
- <math> u(x,\,0) = e^{ - x^2 +ik_0 x}</math>。
经过一番运算，可以得到
- <math> A(k) = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-\frac{(k-k_0)^2}{4}}</math>、
- <math> u(x,\,t) = e^{-(x-vt)^2 +ik_0(x-vt)}</math>。
这个波包的实值部分或虚值部分的非散色传播展示于前面动画。
色散传播[编辑]
再举一个有色散传播例子，思考薛定谔方程式，
- <math>i{ \partial u \over \partial t } = - \frac{1}{2} { \nabla^2 u }</math>。
其色散关系为
- <math> \omega = \frac{1}{2}|\mathbf{k}|^2</math>。
只考虑一维问题。经过一番运算，满足初始条件<math>u(x,\,0) = e^{ - x^2 +ik_0x}</math>的解是
- <math> u(x,\,t) =\frac{e^{ - k_0^2/4}}{\sqrt{1+2it}}\ e^{ - (x - \frac{ik_0}{2})^2/(1+2it)}</math>。
观察这波包的色散行为。取<math> u(x,\,t)</math>的绝对值，
- <math>|u(x,\,t)| = \frac{1}{(1+4t^2)^{1/4}}e^{\frac{ - x^2+2k_0 xt}{1+4t^2}}</math>。
这色散波包传播的群速度是常数<math>k_0</math>。波包的宽度跟时间有关，根据公式<math> (1+4t^2)^{1/2}</math>随着时间增加。
参阅[编辑]
参考文献[编辑]
- ↑ 1.0 1.1 Template:Cite book
- ↑ 脚本错误：没有“citation/CS1”这个模块。
- ↑ Template:Cite book
- J. D. Jackson (1975). Classical Electrodynamics (2nd Ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-43132-X.
- Leonard I. Schiff (1968). Quantum mechanics (3rd ed.). London : McGraw-Hill.