根基

在数论中，将正整数 n 的根基（英文：radical）定义为 n 的所有素因数（质因数）的积：

<math display="block">\displaystyle\mathrm{rad}(n)=\prod_{\scriptstyle p\mid n\atop p\text{ prime}}p</math>

整数的根运算对简化abc猜想的表述起到重要作用。

例子

在不与开方运算里的“根（root）”的概念混淆的情况下，也常简称“根”。例如我们有

<math

display="block">504 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7</math>

所以504的根计算如下

<math

display="block"> \operatorname{rad}(504) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42</math>

根数列

所有正整数的根组成如下数列：

1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, 2, 17, 6, 19, 10, 21, 22, 23, 6, 5, 26, 3, 14, 29, 30, 31, 2, 33, 34, 35, 6, 37, 38, 39, 10, 41, 42, 43, 22, 15, 46, 47, 6, 7, 10, ... （OEIS数列A007947）.

性质

• <math>rad(n)</math>是积性函数。
• 对于任意整数<math>n</math>而言，<math>rad(n)</math>是其最大的无平方因子数因数，故<math>rad(n)</math>又称<math>n</math>的无平方核心（square-free kernel）。截至目前为止，并无在多项式时间内计算<math>n</math>的无平方部分的算法。
• <math>rad(n)</math>可推广为<math>n</math>最大的无<math>t</math>次方因子数因数<math>\mathrm{rad}_t</math>，而<math>\mathrm{rad}_t</math>是一个有如下定义的积性函数：

  <math display=block>\mathrm{rad}_t(p^e) = p^{\mathrm{min}(e, t - 1)}</math>

  <math>t=3</math>及<math>t=4</math>的状况分别由A007948和A058035列举。

• 根基的表达式出现于abc猜想中，而这猜想表示说，对于任意的<math>\varepsilon > 0</math>，都有一个<math>K_\varepsilon</math>，使得对于任意满足<math>a+b=c</math>且互质的三元数组<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>而言，都有以下的关系：

  <math display=block>c < K_\varepsilon\, \operatorname{rad}(abc)^{1 + \varepsilon}</math>

• 对于任意整数<math>n</math>而言，有限环<math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>的所有幂零元都是<math>\operatorname{rad}(n)</math>的倍数。
• 根基有如下的狄利克雷级数：

  <math>\prod_p \left(1+\frac{p^{1-s}}{1-p^{-s}}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{rad}(n)}{n^s}</math>

扩展阅读

• 理想的根