力矩
在物理学中，力矩（torque，moment of force，moment）[1][2]是作用力促使物体具有绕着转动轴或支点转动的趋向的物理量[3]；也就是作用力使物体产生“转”、“扭”或“弯”效应的量度。简略地说，力矩是一种施加于例如螺栓、飞轮一类的物体，或是拧毛巾、扳钢筋的扭转力。例如，用扳手的开口箝紧螺栓或螺帽，然后转动扳手，这动作会产生力矩来转动螺栓或螺帽。
使机械元件转动的力矩又称转矩（turning moment[4]，moment of rotation[5]）即转动力矩；在材料力学、土木工程和建筑学中，作用引起的结构或构件某一截面上的剪力所构成的力偶矩，称为扭矩[6]（torsional moment，torque），而作用引起的结构或构件某一截面上的正应力所构成的力矩，则称为弯矩[7]（bending moment）。
力矩能够使物体改变其旋转运动。推挤或拖拉涉及到作用力，而扭转则涉及到力矩。如上图，力矩<math>\boldsymbol{\tau}\,\!</math>等于径向向量<math>\mathbf{r}\,\!</math>与作用力<math>\mathbf{F}\,\!</math>的叉积。
根据国际单位制，力矩的单位是牛顿米。本物理量非能量，因此不能以焦耳（J）作单位；根据英制单位，力矩的单位则是英尺<math>\cdot</math>磅。力矩的表示符号是希腊字母<math>\boldsymbol{\tau}\,\!</math>，或<math>\mathbf{M}\,\!</math>。
力矩与三个物理量有关：施加的作用力<math>\mathbf{F}\,\!</math>、从转轴到施力点的位移向量<math>\mathbf{r}\,\!</math>、两个向量之间的夹角<math>\theta\,\!</math>。力矩<math>\boldsymbol{\tau}\,\!</math>以向量方程式表示为
- <math>\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r}\times \mathbf{F}\,\!</math>。
力矩的大小为
- <math>\tau = rF\sin \theta\,\!</math>。
定义[编辑]
力矩等于作用于杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。例如，3 牛顿的作用力，施加于离支点2 米处，所产生的力矩，等于1牛顿的作用力，施加于离支点6米处，所产生的力矩。
力矩的方向[编辑]
力矩是个向量，其方向与它所造成的旋转运动的旋转轴同方向。力矩的方向可以用右手定则来决定，也可以用叉乘求得。假设作用力垂直于杠杆。将右手四指往杠杆的旋转方向弯卷，伸直的拇指与支点的旋转轴同直线，则拇指指向力矩的方向[8]。
力矩的方程[编辑]
将此概念推广到更一般的状况，即无杠杆的情况下，如右下图：
假设作用力<math>\mathbf{F}\,\!</math>施加于位置为<math>\mathbf{r}\,\!</math>的粒子。选择原点为参考点，力矩<math>\boldsymbol{\tau}\,\!</math>以方程式定义为
- <math>\boldsymbol{\tau}\ \stackrel{def}{=}\ \mathbf{r} \times \mathbf{F}\,\!</math>。
力矩大小为
- <math>\tau= |\mathbf{r}||\mathbf{F}|\sin\theta\,\!</math>；
其中，<math>\theta\,\!</math>是两个向量<math>\mathbf{F}\,\!</math>与<math>\mathbf{r}\,\!</math>之间的夹角。
力矩大小也可以表示为
- <math>\tau = rF_{\perp}\,\!</math>；
其中，<math>F_{\perp}\,\!</math>是作用力<math>\mathbf{F}\,\!</math>对于<math>\mathbf{r}\,\!</math>的垂直分量。
任何与粒子的位置向量平行的作用力不会产生力矩。
从叉积的性质，可推论，力矩垂直于位置向量<math>\mathbf{r}\,\!</math>和作用力<math>\mathbf{F}\,\!</math>。力矩的方向与旋转轴平行，由右手定则决定。
与角动量之间的关系[编辑]
假设一个粒子的位置为<math>\mathbf{r}\,\!</math>，动量为<math>\mathbf{p}\,\!</math>。选择原点为参考点，此粒子的角动量<math>\mathbf{L}\,\!</math>为
- <math>\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}\,\!</math>。
粒子的角动量对于时间的导数为
- <math>\begin{align}\frac{d\mathbf{L}}{dt} & = \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times \mathbf{p} + \mathbf{r} \times \frac{d\mathbf{p}}{dt} \\
& = \mathbf{v} \times m\mathbf{v} + \mathbf{r} \times m \frac{d\mathbf{v}}{dt} \\
& =\mathbf{r} \times m \mathbf{a} \\
\end{align}\,\!</math> ；
其中，<math>m\,\!</math>是质量，<math>\mathbf{v}\,\!</math>是速度，<math>\mathbf{a}\,\!</math>是加速度。
应用牛顿第二定律，<math>\mathbf{F}=m\mathbf{a}\,\!</math>，可以得到
- <math>\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}\,\!</math>。
按照力矩的定义，<math>\boldsymbol{\tau}\ \stackrel{def}{=}\ \mathbf{r} \times \mathbf{F}\,\!</math>，所以，
- <math>\boldsymbol{\tau} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}\,\!</math>。
作用于一物体的力矩，决定了此物体的角动量<math>\mathbf{L}\,\!</math>对于时间<math>t\,\!</math>的导数。
假设几个力矩共同作用于物体，则这几个力矩的合力矩<math>\boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}}\,\!</math>共同决定角动量的对于时间的变化：
- <math>\boldsymbol{\tau}_1 + \cdots + \boldsymbol{\tau}_n = \boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}\,\!</math>。
关于物体的绕着固定轴的旋转运动，
- <math>\mathbf{L} = I\boldsymbol{\omega}\,\!</math>；
其中，<math>I\,\!</math>是物体对于固定轴的转动惯量，<math>\boldsymbol{\omega}\,\!</math>是物体的角速度。
所以，取上述方程式对时间的导数：
- <math>\boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}(I\boldsymbol{\omega})}{\mathrm{d}t} = I\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t} = I\boldsymbol{\alpha}\,\!</math>；
其中，<math>\boldsymbol{\alpha}\,\!</math>是物体的角加速度。
单位[编辑]
力矩的定义是距离乘以作用力。根据国际单位制，力矩的单位是牛顿<math>\cdot</math>米[9]（Nm）。虽然牛顿与米的次序，在数学上，是可以交换的，但是国际计量局（脚本错误：没有“Lang”这个模块。）规定这次序应是牛顿<math>\cdot</math>米，而不是米<math>\cdot</math>牛顿[10]。
根据国际单位制，能量与功量的单位是焦耳，定义为1牛顿<math>\cdot</math>米。但是，焦耳不是力矩的单位。因为，能量是力点积距离的标量；而力矩是距离叉积作用力的向量。当然，量纲相同并不尽是巧合，使1牛顿<math>\cdot</math>米的力矩，作用1 全转，需要恰巧<math>2\pi\,\!</math>焦耳的能量：
- <math>E= \tau\theta\,\!</math>。
其中，<math>E\,\!</math>是能量，<math>\theta\,\!</math>是移动的角度，单位是弧度。
根据英制，力矩的单位是英尺<math>\cdot</math>磅。
矩臂方程式[编辑]
在物理学外，其他的学术界里，力矩时常会如以下定义：
- <math>\boldsymbol{\tau} = (\text{moment arm}) \cdot \textrm{force}\,\!</math>。
右图显示出矩臂（moment arm）、前面所提及的相对位置<math>\mathbf{r}\,\!</math>、作用力<math>\mathbf{F}\,\!</math>（force）。这个定义并没有指出力矩的方向，只有力矩的大小。所以，并不适用于三维空间问题。
静力概念[编辑]
当一个物体在静态平衡时，合力是零，对任何一点的合力矩也是零。二维空间的平衡要求是
- <math>\sum F_x =0\,\!</math>，
- <math>\sum F_y =0\,\!</math>，
- <math>\sum \tau =0\,\!</math>。
这里，<math>F_x,\ F_y \,\!</math>是作用力<math>\mathbf{F}\,\!</math>分别在x-轴与y-轴的分量。假若，这三个联立方程式有解，则称此系统为静定系统；不然，则称为静不定系统。
力矩、能量和功率之间的关系[编辑]
假设施加作用力于一物体，使得此物体移动一段距离，则作用力对于此物体做了机械功。类似地，假设施加力矩于一物体，使得此物体旋转一段角位移，则力矩对于此物体做了机械功。对于穿过质心的固定轴的旋转运动，以数学方程式表达，
- <math> W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau\ \mathrm{d}\theta\,\!</math>；
其中，<math>W\,\!</math>是机械功，<math>\theta_1\,\!</math>、<math>\theta_2\,\!</math>分别是初始角和终结角，<math>\mathrm{d}\theta\,\!</math>是无穷小角位移元素。
根据功能定理，<math>W\,\!</math>也代表物体的旋转动能<math>K_{\mathrm{rot}}\,\!</math>的改变，以方程式表达，
- <math>K_{\mathrm{rot}} = \tfrac{1}{2}I\omega^2\,\!</math>。
功率是单位时间内所做的机械功。对于旋转运动，功率<math>P\,\!</math>以方程式表达为
- <math> P = \boldsymbol{\tau} \cdot \boldsymbol{\omega}\,\!</math>。
请注意，力矩注入的功率只跟瞬时角速度有关，而角速度是否在增加中，或在减小中，或保持不变，功率都与这些状况无关。
实际上，在与大型输电网络相连接的发电厂里，可以观察到这关系。发电厂的发电机的角速度是由输电网络的频率设定，而发电厂的功率输出是由作用于发电机转动轴的力矩所决定。
在计算功率时，必须使用一致的单位。采用国际单位制，功率的单位是瓦特，力矩的单位是牛顿-米，角速度的单位是每秒弧度（不是每分钟转速rpm，也不是每秒钟转速）。
力矩原理[编辑]
力矩原理阐明，几个作用力施加于某位置所产生的力矩的总和，等于这些作用力的合力所产生的力矩。力矩原理又名伐里农定理(脚本错误：没有“Lang”这个模块。)[11]（以法国科学家兼神父皮埃尔·伐里农命名），以方程式表达，
- <math>(\mathbf{r}\times\mathbf{F}_1) + (\mathbf{r}\times\mathbf{F}_2) + \cdots = \mathbf{r}\times(\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2 + \cdots)\,\!</math>。
参考文献[编辑]
- ↑ Template:Cite book
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- ↑ Serway, R. A. and Jewett, Jr. J. W. (2003). Physics for Scientists and Engineers. 6th Ed. Brooks Cole. ISBN 978-0-534-40842-8.
- ↑ Template:Cite web
- ↑ Template:Cite web
- ↑ Template:Cite web
- ↑ Template:Cite web
- ↑ *乔治亚州州立大学（脚本错误：没有“Lang”这个模块。）线上物理网页：脚本错误：没有“citation/CS1”这个模块。
- ↑ 脚本错误：没有“citation/CS1”这个模块。
- ↑ 脚本错误：没有“citation/CS1”这个模块。
- ↑ Engineering Mechanics: Equilibrium, by C. Hartsuijker, J. W. Welleman, page 64
延伸阅读[编辑]
参阅[编辑]
外部链接[编辑]
- 模拟力矩平衡的Java小程式（页面存档备份，存于互联网档案馆）
- Torque and Angular Momentum in Circular Motion （页面存档备份，存于互联网档案馆） on Project PHYSNET（页面存档备份，存于互联网档案馆）.
- Torque Unit Converter（页面存档备份，存于互联网档案馆）
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