年金
年金是指等额、定期的系列收支。[1]即用于描述这类以固定的时间周期以相对固定的方式发生的现金流。例如，分期付款赊购、分期偿还贷款、发放养老金、分期支付工程款、每年相同的销售收入等，都属于年金收付形式.[2]
分类[编辑]
按照收付时点和方式的不同可以将年金分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金等四种。
普通年金现值[编辑]
普通年金的现值可以被表达为一个等比数列的总和。
考虑在<math>t = 1,2,...,n</math>时刻分别发生数额为<math>C</math>的款项，总共发生<math>n</math>次的现金流（显然，这是年金）。将在未来发生的款项根据换算周期内的利率<math>i</math>折现，这个年金的现值据此计算：[3]
- <math>PV \,=\,\frac{C}{i}\cdot[1-\frac{1}{\left(1+i\right)^n}] </math> <math>\mathrm = {C}\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \,</math>
其中<math>\mathrm \frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \,</math>称为“年金因子”。上式同样也适用于发生时间不同但等时间间隔的年金，比如，从第一年到第十年每年年底付款100元；其中，<math>i</math>是换算周期内对应的利率或当期收益率。[4]
若年金的支付永远进行下去，没有停止的那一天，这种年金被称为永久年金。[5]永久年金现值的计算即令上式中<math>n \to \infty</math>，则<math>1-\frac{1}{\left(1+i\right)^n} \to 1</math>，
- <math>PV\,=\,\frac{C}{i}</math>
因此，前式可以看作是一个永久年金的现值减去一个推迟了<math>n</math>年的永久年金的现值所得。
需要注意的是，这些计算公式只有在满足下述条件时才能成立：
要了解更多，请参见金钱的时间价值。
普通年金终值[编辑]
在考虑退休年金计划或者定期储蓄计划时，有时需要计算年金终值。
根据终值计算公式:
<math>FV_A=PV_A\times(1+i)^n</math>
其中:
- <math>FV_A</math>为年金终值
- <math>PV_A</math>为年金现值
- <math>i</math>为对应利率
- <math>n</math>为年金期数
按上文，已知普通年金现值计算公式，将其代入终值计算公式:
<math>\begin{alignat}{3}
FV_A&= \frac{C}{i}\times[1-\frac{1}{\left(1+i\right)^n}]\times(1+i)^n \\
& = \frac{C}{i}\times[(1+i)^n-1] \\
& = C\times[\frac{(1+i)^n-1}{i}] \\
\end{alignat}</math>
已知<math>(1+i)^n</math>为计算终值时使用的[终值因子] (Future Value Factor)，则上述公式可以简化为:
<math>FV_A=C\times\frac{Future\,\ Value\,\ Factor-1}{i}</math>
我们称<math>\frac{Future\,\ Value\,\ Factor-1}{i}</math>为[年金终值因子] (FV annuity factor)
最终简化版的年金终值公式为<math>FV_A=C\times FV\,\ annuity\,\ factor</math>
普通年金终值的计算[编辑]
假设A每年年末定期储蓄10,000元人民币，年利率5%，那么到第四年年末，A定期储蓄的终值是多少？
首先计算终值因子: <math>Future\,\ Value\,\ Factor=(1+0.05)^4=1.215506</math>
接下来计算年金终值因子: <math>FV\,\ annuity\,\ factor=(1.22-1)/0.05=4.310119</math>
最后计算年金终值: <math>FV_A=10000\times 4.310119=43101.19</math>
A所做定期储蓄在第四年的终值为43101.19元。
参见[编辑]
参考文献[编辑]
- ^ 财务成本管理. 中国财政经济出版社. 2012: 82. ISBN 978-7-5095-3457-1.
- ^ 什么是年金.
- ^ Smart, Scott. Corporate Finance. Stamford: Thomson Learning. 2008: 86. ISBN 184480562X.
- ^ Khan, M.Y. Theory & Problems in Financial Management. Boston: McGraw Hill Higher Education. 1993. ISBN 9780074636831.
- ^ 吴岚, 黄海. 金融数学引论. 北京: 北京大学出版社. 2005: 36. ISBN 9787301083734.