幂零元

在抽象代数中，对环 <math>R</math> 的一个元素 <math>x</math> ，若存在一个正整数 <math>n</math> 使得 <math>x^n</math> 等于环 <math>R</math>的加法单位元时，称 <math>x</math> 是一个幂零元（Template:Langx）。

例子

• 首先来看一个矩阵中的例子。在3阶方阵中，矩阵：

<math>A = \begin{bmatrix}

0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{bmatrix} </math>

是一个幂零元，因为 <math>A^3 = 0</math>。

• 在商环Z/9Z中，同余类3是一个幂零元，因为3²是同余类0。
• 对不满足交换律的环 <math>R</math>中，如果元素 <math>a</math> 和 <math>b</math> 满足 <math>ab = 0</math> ，那么元素 <math>c = ba</math>（如果非零的话）是一个幂零元，因为 <math>c^2 = (ba)(ba) = b(ab)a = 0</math> 。在矩阵环中的一个例子是：

<math>A_1 = \begin{bmatrix}

0 & 1\\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \;\; A_2 =\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \ </math>

其中 <math> A_1A_2=0,\; (A_2A_1)^2=0 </math>

性质

在非平凡的交换环中，幂零元不可能是乘法的可逆元。每个幂零元显然都是零因子。

在交换环中，所有的幂零元组成一个理想，称作这个环的Template:Tsl。每个素理想都包含所有的幂零元，实际上，所有素理想的交集就是环的诣零根。

如果 <math>x</math> 是幂零元，那么 <math>1 - x</math> 是一个可逆元，因为由 <math>x^n = 0</math> 可得

<math>(1 - x)(1 + x + x^2 + \dots + x^{n - 1} = 1 - x^n = 1</math> 。

更一般地，在满足交换律的情况下，可逆元与幂零元之和依然是一个可逆元。

一个域上的n阶方阵是幂零元，当且仅当它的特征多项式等于<math> t^n </math>。

参见

• 环