定态

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设想经典力学里的谐振子 系统（A-B），一条弹簧的一端固定不动，另一端有一个带质量圆球；在量子力学里， （C-H）展示出同样系统的薛定谔方程的六个波函数解。横轴坐标表示位置，竖轴坐标表示概率幅的实部（蓝色）或虚部（红色）。（C-F）是定态，（G、H）不是定态。定态的能量为驻波振动频率与约化普朗克常数的乘积。

File:StationaryStatesAnimation.gif

描述谐振子的含时薛定谔方程的三个波函数解。左边：波函数概率幅的实部（蓝色）或虚部（红色）。右边：找到粒子在某位置的概率，这说明了为什么概率与时间无关的量子态被称为“定态”。上面两个横排是定态，最下面横排是叠加态 <math>\psi_N =(\psi_0+\psi_1)/\sqrt{2}</math> 。

在量子力学里，定态（stationary state）是一种量子态，定态的概率密度与时间无关。以方程表式，定态的概率密度对于时间的导数为

<math>\frac{d}{dt}|\Psi(x,\,t)|^2=0</math> ；

其中，<math>\Psi(x,\,t)</math> 是定态的波函数，<math>x</math> 是位置，<math>t</math> 是时间 。

设定一个量子系统的含时薛定谔方程为

<math> - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi+V\Psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi</math> ；

其中，<math>\hbar</math> 是约化普朗克常数，<math>m</math> 是质量，<math>V(x)</math> 是位势。

这个方程有一个定态的波函数解：

<math>\Psi(x,\,t)=\psi(x)e^{ - iEt/\hbar}</math> ；

其中，<math>\psi(x)</math> 是 <math>\Psi(x,\,t)</math> 的不含时间部分，<math>E</math> 是能量。

将这定态波函数代入含时薛定谔方程，则可除去时间关系：

<math> - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi+V\psi=E\psi</math> 。

这是一个不含时薛定谔方程，可以用来求得本征能量 <math>E</math> 与伴随的本征函数 <math>\psi_E(x)</math> 。定态的能量都是明确的，是定态薛定谔方程的本征能量 <math>E</math> ，波函数 <math>\psi(x)</math> 是定态薛定谔方程的本征函数 <math>\psi_E(x)</math> 。

概率密度与时间无关

虽然定态 <math>\Psi(x,\,t)</math> 很明显的含时间。含时间部分是个相位因子。定态的概率密度不含有相位因子这项目：

<math>|\Psi(x,\,t)|^2=|\psi(x)|^2</math> 。

所以，定态的概率密度与时间无关。一个直接的后果就是期望值也都与时间无关。例如，位置的期望值 <math>\langle x\rangle</math> 是

<math>\begin{align}\langle x\rangle & =\int_{ - \infty}^{\infty}\Psi^*(x,\,t)x\Psi(x,\,t)\,dx \\

& =\int_{ - \infty}^{\infty}\,x|\Psi(x,\,t)|^2\,dx \\
& =\int_{ - \infty}^{\infty}\,x|\psi(x)|^2\,dx \\

\end{align}</math> 。

再举一例，动量的期望值 <math>\langle p\rangle</math> 是

<math>\begin{align}\langle p\rangle

& =\int_{ - \infty}^{\infty}\Psi^*(x,\,t)\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\Psi(x,\,t)\,dx \\
& =\frac{\hbar}{i} \int_{ - \infty}^{\infty}\psi(x)e^{iEt/\hbar} \frac{\partial}{\partial x}(\psi(x)e^{ - iEt/\hbar})\,dx \\
& =\frac{\hbar}{i}\int_{ - \infty}^{\infty}\,\psi^*(x)\frac{\partial}{\partial x}\psi(x)\,dx \\

\end{align}</math> 。

所以，<math>\langle x\rangle</math> 和 <math>\langle p\rangle</math> 都与时间无关。一般而言，给予任意一个位置与动量的函数 <math>f(x,\,p)</math> ，期望值 <math>\langle f(x,\,p)\rangle</math> 必然与时间无关。

参阅

• 纯态
• 混合态
• 基态
• 激发态
• 束缚态
• 真空态
• 相干态
• 简并态

参考文献

• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.