停时

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停时的一个范例: 布朗运动的首中时

在概率论中，尤其在随机过程的研究中，停时是一种特殊的“随机时刻”。

停止规则和停时理论常在概率论和统计学中被提到和应用，其中著名的有可选抽样定理。停时同时在数学证明中也被频繁应用——“驯服时间这一连续统” 。

定义

定义 — 
<math>(X,\,\Sigma,\,P)</math>是几率空间，<math>\leq</math> 是集合 <math>T</math> 上的全序关系，若有个单射 <math>\mathcal{F}:T \to \mathcal{P}[\mathcal{P}(X)]</math> 满足：

• 对所有 <math>t \in T</math> ， <math>\mathcal{F}(t)</math> 是 <math>X</math> 上的Σ-代数，且 <math>\mathcal{F}(t) \subseteq \Sigma</math> 。
• 对所有 <math>s,\,t \in T</math> ， 若 <math>t \leq s</math> 则 <math>\mathcal{F}(t) \subseteq \mathcal{F}(s)</math>

那 <math>\mathcal{F}</math> 被称为 <math>(X,\,\Sigma,\,P)</math> 上的一个滤子/域流（filtration），也可以称<math>(X,\,\Sigma,\,\mathcal{F},\,P) </math>为一个滤波（几率）空间。

要强调是用哪个集合 <math>T</math> 去定义滤子的时候，可以仿造序列的标记，把滤子记为 <math>{\{\mathcal{F}_t\}}_{t \in T} </math> ，然后把 <math>\mathcal{F}(t)</math> 也简记为 <math>\mathcal{F}_t</math> 。

定义 — 
<math>(X,\,\Sigma,\,{\{\mathcal{F}_t\

_{t \in T},\,P) </math>为一个滤波空间，若函数 <math>\tau :X \to T</math> 满足。

<math> (\forall t \in T)\bigg\{

   \{
   x \in X \,|\,
       \tau(x) \leq t
   \}
   \in \mathcal{F}_t

\bigg\}</math> 那称 <math>\tau</math> 为滤子 <math>{\{\mathcal{F}_t\}}_{t \in T}</math> 的一个停时（stopping time） }}

例子

为了解释一些是或不是停时的随机时刻，考虑一个玩轮盘赌的赌徒，其具有典型的赌场优势，初始时刻赌资为100元：

• 赌且只赌一次，对应于停时<math>\tau</math> = 1，且这是一个停止规则（在停时概念中决定何时停止的规则或条件）。
• 当赌徒破产或赢得500元钱时停止赌博是一个停止规则。
• 当赌徒获得他所能赢得的最大赌资(此时刻之前以及之后)时停止赌博不是一个停止规则，且不提供一个停止规则：因为它不仅需要此刻和过去的信息，还需要将来的信息。
• 当赌徒使其赌资翻倍时（资产为负时若必要则允许贷款）不是一个停止规则，因为只有单边，而且他永远不能使他的赌资翻倍的概率是正的。（这里假设存在限制使得备注诀窍体系（加倍赌注法）或者其变异方法（比如将上次的赌金翻三倍下注）不能被使用。这类限制可以包括针对投注的但并不针对借款。）
• 当赌徒使其赌资翻倍或破产时停止赌博是一个停止规则，虽然赌徒赌博的总次数实际上并不一定是有限的，但，他在有限时间内停下来的概率是1。

局部化

停时经常被用来概括一些情景具备的随机过程特性，在这些情景中需要的条件只在局部意义上被满足。首先，如果 <math>X</math> 是一个（随机）过程，<math>\tau</math> 是它的一个停时，那么 <math>X^\tau</math> 就用来表示过程 <math>X</math> 在 <math>\tau</math> 时刻停止。

<math> X^\tau_t=X_{\min(t,\tau)}</math>

那么，<math>X</math> 被认为局部满足 <math>P</math> 特性，若存在一列停时 <math>\tau_n</math>，<math>n \to \infty </math>，<math>1_{\{\tau_n>0\}}X^{\tau_n}</math> 满足特性 <math>P</math>。常见的例子如下面两个，其中 <math>I = [0,\infty)</math>：.

• （局部鞅）过程 <math>X</math> 是一个局部鞅，若它是右连续有左极限的，且存在一列停时 <math>\tau_n</math>，<math>n \to \infty </math>，使得 <math>1_{\{\tau_n>0\}}X^{\tau_n}</math>对 <math>\forall n \in N </math> 是一个鞅。

• （局部可积）非负连续的过程 <math>X</math> 是局部可积的，若存在一列停时 <math>\tau_n</math>，<math>n \to \infty </math>，使得<math>\forall n \in N </math>，<math>\mathbb{E}(1_{\{\tau_n>0\}}X^{\tau_n})<\infty</math>。

停时的类型

停时（表示时间的下标取自 <math>I=[0,\infty]</math>）常常依据发生时间能否预测被分成几类。

若 <math> \exists {\tau_n}</math>，<math> n \in N</math>，<math> \forall n </math> ，满足 <math> 0<\tau_n<\tau_n+1<\tau</math>，有<math>lim_{n \to \infty}x_n</math>，则停时 <math>\tau</math> 是可预测的。<math>{\tau_n}</math> 被称为 <math>\tau</math> 的预告，可预测的停时有时则被称作“可预告的”。例子有连续的适应过程的到达时间。取 <math> a \in R</math>，设 <math>X</math> 是实值连续过程，若<math>\tau</math> 是第一个使得 <math>X = a</math> 的时刻，则 <math>\tau</math> 是可被 <math>\tau_n</math> 逼近的，即 <math>\tau_n</math>是第一个使得 <math>|X-a|<1/n </math> 的时刻。

可被一列可预测的时刻覆盖的停时称为可接近的。即，<math>\tau</math> 是可接近的，若：对于部分 <math> n </math>，<math>P(\tau=\tau_n)=1</math>，其中 <math>\tau_n</math> 是可预测的时刻。

若停时 <math>\tau</math>不能被任何递增的停时序列所逼近，则称为完全不可接近的。等价地，<math>P(\tau = \sigma < \infty)= 0</math>，其中<math>\sigma</math> 是任取的可预测的时刻。例如泊松跳跃。

每个停时 <math>\tau</math> 都可被惟一分解为一个可接近的时刻和一个完全不可接近的时刻。即，存在惟一的可接近的停时 <math>\sigma</math> 和惟一的完全不可接近的 <math>\upsilon</math>，使得凡有 <math>\sigma < \infty</math> 则 <math>\tau = \sigma</math>，凡有 <math> \upsilon < \infty</math>则 <math>\tau = \upsilon</math>，若 <math> \sigma = \tau = \infty</math>，则 <math>\tau = \infty</math>。在此分解结果中需要说明的是，其中的停时并不一定总是有限的，也可以等于 <math>\infty</math>。

参见

• 最优停止问题
• 秘书问题
• 首中时
• 停止过程
• 停车问题

参考文献

• Revuz, Daniel and Yor, Marc. Continuous martingales and Brownian motion. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 293 Third edition. Berlin: Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-64325-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• H. Vincent Poor and Olympia Hadjiliadis. Quickest Detection First edition. Cambridge: Cambridge University Press. 2008. ISBN 9780521621045.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Protter, Philip E. Stochastic integration and differential equations. Stochastic Modelling and Applied Probability No. 21 Second edition (version 2.1, corrected third printing). Berlin: Springer-Verlag. 2005. ISBN 3-540-00313-4. 

延伸阅读

• Thomas S. Ferguson. "Who solved the secretary problem?", Stat. Sci. vol. 4, 282–296, (1989).
• An introduction to stopping times.
• F. Thomas Bruss, "Sum the odds to one and stop", Annals of Probability, Vol. 4, 1384–1391,(2000)

• Shiryaev, Albert N. Optimal Stopping Rules. Springer. 2007. ISBN 3540740104.