存在量化

File:Disambig gray.svg“∃”重定向至此。关于倒转的字母E，请见“Ǝ”。关于日语中的片假名，请见“ヨ”。

在谓词逻辑中，存在量化是对论域内至少一个成员的性质或关系的论断。在符号逻辑中，存在量词“∃”是用来指示存在量化的符号。

它相对于声称某些谓词对所有事物都为真的全称量化。

基础

要表达“某些自然数自乘得25”这个命题，一种方式是：

<math>0 \times 0=25</math>，或<math>1 \times 1=25</math>，或<math>2 \times 2=25</math>，或<math>3 \times 3=25</math>，以此类推。

因为使用了“或”一词，这看上去是逻辑析取。然而形式逻辑中的析取概念却不能表达出“以此类推”一词的含义，因此该命题并不能在形式逻辑中解读。

因此将该命题改述为

存在自然数<math>n</math>，<math>n \times n=25</math>。

也可表达为

对于某些自然数<math>n</math>，<math>n \times n=25</math>。

这便是一个使用存在量化的单一命题。该命题比原命题更精确，因为“以此类推”一词想表示的是要包括所有的自然数、且除此之外不包括任何其它内容，但语言中并没有明确地陈述这点，这便是“以此类推”一词不能被形式地解释的根本原因。

这个新命题为真，因为5是自然数，而当把5代入<math>n</math>时，可以得到<math>5 \times 5=25</math>。尽管大多数自然数<math>n</math>都不满足<math>n \times n=25</math>，但存在至少一个解足以举证存在命题为真。反之，“存在偶数<math>n</math>，<math>n \times n=25</math>”为假，因为一个偶数解也不存在。

然而，“存在奇数<math>n</math>，<math>n \times n=25</math>”为真，因为5是奇数。这演示了论域的重要性——确定变量n的取值范围。限制存在量化的论域要使用逻辑合取。例如“存在奇数<math>n</math>，<math>n \times n=25</math>”逻辑等价于“存在自然数<math>n</math>，<math>n</math>是奇数且<math>n \times n=25</math>”。这里的“且”构造出了逻辑合取。

在符号逻辑中，使用存在量词“∃”（反写的无衬线体的字母"E"）来表示存在量化。所以如果<math>P(a,b,c)</math>是谓词“<math>a \times b=c</math>”，而<math>\mathbb{N}</math>则是自然数集，那么有

<math> \exists{n}{\in}\mathbb{N}\, P(n,n,25) </math>

表示的是真命题“存在自然数<math>n</math>，<math>n \times n=25</math>”。

类似的，如果<math>Q(n)</math>是谓词“<math>n</math>是偶数”，那么有

<math> \exists{n}{\in}\mathbb{N}\, \big(Q(n)\;\!\;\! {\wedge}\;\!\;\! P(n,n,25)\big) </math>

表示的是假命题“存在自然数<math>n</math>，<math>n</math>是偶数且<math>n \times n=25</math>”。

参见

• 全称量化（∀，for all）
• 量化 (数理逻辑)

参考资料

• Hinman, P. Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. 2005. ISBN 978-1-56881-262-5.