ℶ 数

ℶ 数（读作Beth数）和阿列夫数类似，也是一系列超穷基数。

在连续统假设下，阿列夫数与 ℶ 数等价：

• 可数集（如自然数集）的基数标记为<math>\beth_0</math>，下一个 ℶ 数被定义为上一个 ℶ 数的幂集的基数，即：

<Math>\beth_0 := \operatorname{card}\left( \mathbb{N} \right)</Math>

<Math>\beth_1 := 2^{\beth_0} = \operatorname{card}\left( P \left( \mathbb{N} \right) \right)</Math>

<Math>\beth_2 := 2^{\beth_1} = \operatorname{card}(P(P(\mathbb{N})))</Math>

<Math>\beth_3 := 2^{\beth_2} = \operatorname{card}(P(P(P(\mathbb{N}))))</Math>

等等

定理

对任意的 α 有<Math>\beth_{\alpha}\geqslant\aleph_{\alpha}</Math>，而连续统假设即为<Math>\beth_1=\aleph_1</Math>乃至<Math>\beth_{\alpha}=\aleph_{\alpha}</Math>。

对 α = 1 的情况，证明分两步：一、ℵ₀ 和 ℵ₁ 之间无其他任何基数；二、ℶ₁ 比 ℶ₀ 大（card(2^X) > card(X)）。

常见叫法

在中国大陆，实数集的基数常被记为𝖈或 ℵ ，即 ℵ := ℶ₁，这样连续统假设就常常被表述为 ℵ = ℵ₁．阅读相关读物时应避免混淆。人们在学数学分析（微积分）时常常以为自己时常遇到的是阿列夫数，事实上他们遇到的是 “ℵ”或“𝖈”，即第一个 ℶ 数。