相位偏移調制

File:Modulation categorization.svg
調變方式
連續調變
調幅 調頻 調相 類比 AM （SSB · DSB） FM PM 數位 ASK （OOK · QAM） FSK （MSK · GFSK） PSK （CPM） 其他 SM （類比）
脈衝調變
類比	PAM · PDM · PPM
數位	PCM · PWM
展頻
CSS · DSSS · THSS · FHSS
另見
調變 · 線路碼 · 調製解調器 · ΔΣ調變 · OFDM · FDM

相位偏移調制，又稱相位鍵移（PSK，Phase-Shift Keying）是一種利用相位差異的訊號來傳送資料的調制方式。該傳送訊號必須為正交訊號，其基底更須為單位化訊號。

一個訊號所代表的數學公式

<math>

      s_i(t) 
      =  Acos(2 \pi f_o t + \theta )

</math> 一般調制訊號的改變部份可分為振幅A（ASK用）、相位<math>\theta </math>（PSK用）及頻率<math>f_o </math>（FSK用）三種。其中PSK即利用相位差異來產生的調制方式。

MPSK通用的傳輸符號之公式。

<math>

      s_i(t) 
      =  Acos(2 \pi f_o t + {2\pi i \over M} )
      \mbox{  ,where } i = 0,1,\ldots,M-1

</math>

PSK又可稱M-PSK或MPSK，目前有BPSK、QPSK、16PSK、64PSK等等，常用的只有QPSK。而M是代表傳送訊號的符號（symbol）種類。符號越多，傳送的位元數越多，自然在固定時間可傳送越多的資料量（bps）。

傳輸量公式。

<math>

      bps(bits/sec) 
      =  {\log_{2}M \over Ts}

</math>

File:PSK BER curves.svg

BPSK、QPSK、8PSK及16PSK的BER對SNR圖

假設各MPSK皆在同一能量下傳送，PSK會因為符號種類（M）的提昇使位元錯誤率（Bits Error Rate，BER）快速上升。所以在符號數M大於16後都由QAM來執行調制工作。QPSK如果用格雷碼對映的方式，其BER會和BPSK一樣。所以目前常用的只有QPSK。

二位元相位偏移調制(BPSK)

File:BPSK Gray Coded.svg

BPSK的坐標圖

BPSK（Binary Phase-shift keying）是PSK系列中最簡單的一種。它是使用兩個相位差180°且正交的訊號表示0及1的資料。它在坐標圖放置的點並無特別設計，兩點皆放在實數軸，分別在0°的點及180°的點。這種系統是在PSK系列中抗雜訊能力（SNR）是最佳的，在傳送過程中即使嚴重失真，在解調時仍可盡量避免錯誤的判斷。然而，由於只能調制1 bit至symbol上，所以不適合用在高帶寬資料傳送需求的系統上。

標準BPSK遵循如下公式：

<math>s_n(t) = \sqrt{\frac{2E_b}{T_b}} \cos(2 \pi f_c t + \pi(1-n )), n = 0,1. </math>

公式包含0和π兩個相位。在具體形式中，二進制數據以如下形式傳送：

<math>s_0(t) = \sqrt{\frac{2E_b}{T_b}} \cos(2 \pi f_c t + \pi )

             = - \sqrt{\frac{2E_b}{T_b}} \cos(2 \pi f_c t)</math> 代表零；

<math>s_1(t) = \sqrt{\frac{2E_b}{T_b}} \cos(2 \pi f_c t) </math> 代表一。

其中f_c代表載波頻率。 因此，訊號空間可以由單個基函數表示：

<math>\phi(t) = \sqrt{\frac{2}{T_b}} \cos(2 \pi f_c t) </math>

其中 <math>\sqrt{E_b} \phi(t)</math> 代表一，<math>-\sqrt{E_b} \phi(t)</math> 代表零。

BPSK 的位元錯誤率(BER) 在加性高斯白雜訊下表示之公式:

<math>P_b = Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)</math>

BPSK 的BER和和它的符號錯誤率（SER）是相同的。

四位元相位偏移調制(QPSK)

File:QPSK Gray Coded.svg

QPSK的坐標圖，其位元對映符號方式用格雷碼對映。

QPSK，有時也稱作四相位PSK、4-PSK、4-QAM，在坐標圖上看是圓上四個對稱的點。通過四個相位，QPSK可以編碼2位元符號。圖中採用格雷碼來達到最小位元錯誤率（BER） — 是BPSK的兩倍. 這意味着可以在BPSK系統帶寬不變的情況下增大一倍數據傳送速率或者在BPSK數據傳送速率不變的情況下將所需帶寬減半。

數學分析表明，QPSK既可以在保證相同訊號帶寬的前提下倍增BPSK系統的數據速率，也可以在保證數據速率的前提下減半BPSK系統的帶寬需求。在後一種情況下，QPSK的BER與BPSK系統的BER完全相同。

由於無線電通訊的帶寬都是由FCC一類部門所事先分配規定的，QPSK較之於BPSK的優勢便開始顯現出來：QPSK系統在給定的帶寬內可以在BER相同的情況下可以提供BPSK系統兩倍的帶寬。採取QPSK系統在實際工程上的代價是其接收設備要遠比BPSK系統的接收設備複雜。然而，隨着現代電子技術的迅猛發展，這種代價已經變得微不足道。

較之BPSK系統，QPSK系統在接收端存在相位模糊的問題，所以實際應用中經常採取差分編碼QPSK的方式。

QPSK遵循如下公式：

<math>s_n(t) = \sqrt{\frac{2E_s}{T_s}} \cos \left ( 2 \pi f_c t + (2n -1) \frac{\pi}{4}\right ),\quad n = 1, 2, 3, 4. </math>

公式包含π/4、3π/4、5π/4與7π/4四個相位。

在二維訊號空間中得出的以單位基函數表示的結果為：

<math>\phi_1(t) = \sqrt{\frac{2}{T_s}} \cos (2 \pi f_c t) </math>

<math>\phi_2(t) = \sqrt{\frac{2}{T_s}} \sin (2 \pi f_c t) </math>

第一個基函數被用作訊號的在相分量，第二個基函數被用作訊號的正交分量。

根據上面的理論推導，QPSK的BER等同於BPSK，即：

<math>P_b = Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right).</math>

然而，為了實現相同的BER，QPSK系統需要使用BPSK兩倍的功率（假設兩個位元同時傳輸）。錯誤率模型由如下公式給出：

<math>\,\!P_s</math>	<math>= 1 - \left( 1 - P_b \right)^2</math>
	<math>= 2Q\left( \sqrt{\frac{E_s}{N_0}} \right) - Q^2 \left( \sqrt{\frac{E_s}{N_0}} \right)^2</math>.

. 如果訊號雜訊比較高，則實際錯誤率模型可估計為：

<math>P_s \approx 2 Q \left( \sqrt{\frac{E_s}{N_0}} \right )</math>

參見

• 調制
• 頻率偏移調制
• 正交振幅調制

參考文獻

• Proakis, John G. Digital Communications. McGraw Hill. 1995. ISBN 0-07-113814-5. 
• Couch, Leon W. II. Digital and Analog Communications. Prentice-Hall. 1997. ISBN 0-13-081223-4. 
• Haykin, Simon. Digital Communications. Wiley. 1988. ISBN 0-471-62947-2.