P-群

Template:Lowercase 在數學中的群論中，給定一質數 <math>p</math> ，<math>p</math>-群（Template:Langx）是每個元素的階都是 <math>p</math> 的次方的一個群 <math>G</math> ；換言之，對每個 <math>G</math> 中的 <math>g</math> ，存在一個正整數 <math>n</math> 使得 <math>g</math> 的 <math>p^n</math> 次方等於單位元素， <math>g^{(p^n)} = e</math> 而對小於 <math>p^n</math> 的其他正整數 <math>m</math> 則有 <math>g^m \neq e</math>。

若 <math>G</math> 有限，則上述定義等價於 <math>G</math> 的階為 <math>p</math> 的次方。有限 <math>p</math>-群的結構已被深入研究，其中一個使用類方程的標準結論為一個非平凡有限 <math>p</math>-群的中心不可能為一個平凡子群。一個 <math>p^n</math> 階的 <math>p</math>-群會包含着 <math>p^i</math> 階的子群，其中 <math>0 \leq i \leq n</math> 。更一般性地，每一個有限 <math>p</math>-群都會是冪零群，因而都是可解群。

有相同階的p-群不一定會互相同構；例如，循環群C₄和克萊因四元群都是4階的2-群，但兩者並不同構。一個p-群不一定要是阿貝爾群；如8階的二面體群即為一個非可換2-群。（但每個p²階的群都會是可換的。）

以趨進的觀點來看，幾乎所有的有限群都會是p-群。實際上，幾乎所有的有限群都是2-群：2-群的同構類與其階至多為n之群的同構類的比例在當n趨進於無限大時會趨進於1。例如，其階至多為2000的所有不同的群會有99%為1024階的2-群。

每一個非當然有限群都會包括一個為非當然p-群之子群。詳述請見西洛定理。

無限群的例子，見普呂弗群。

性質

<math>p</math>-群中，所有元素的階都是有限的，因此<math>p</math>-群是週期群

另見

• 冪零群
• 西洛子群
• 普呂弗秩
• 超特別群