加性高斯白杂讯

加性高斯白杂讯（英语：Additive white Gaussian noise，AWGN）在通讯领域中指的是一种功率谱函数是常数（即白杂讯），且幅度服从高斯分布的杂讯讯号。因其可加性、幅度服从高斯分布且为白杂讯的一种而得名。

该杂讯讯号为一种便于分析的理想杂讯讯号，实际的杂讯讯号往往只在某一频段内可以用高斯白杂讯的特性来进行近似处理。由于AWGN讯号易于分析、近似，因此在讯号处理领域，对讯号处理系统（如滤波器、低噪音高频放大器、无线讯号传输等）的杂讯性能的简单分析(如：信噪比分析)中，一般可假设系统所产生的噪音或受到的噪音信号干扰在某频段或限制条件之下是高斯白杂讯。

加性高斯白杂讯只是白杂讯的一种，另有泊松白杂讯等。

波道容量

AWGN 波道由一系列的<math>Y_i</math>（输出） 来表示，其中的 <math>i</math> 表示离散的时间事件索引。<math>Y_i</math> 是 <math>X_i</math>（输入）和<math>Z_i</math>（杂讯）的数值和，其中 <math>Z_i</math> 是独立恒等分布的随机变量并来自于均值为 0，方差为 <math>N</math>（杂讯） 的正态分布。<math>Z_i</math> 可以进一步认为和 <math>X_i</math> 有关。

<math>

Z_i \sim \mathcal{N}(0, N)

\,\!</math>

<math>

Y_i = X_i + Z_i

\,\!</math>

波道的容量是无穷的，除非杂讯 <math>n</math> 非零且 <math>X_i</math> 有足够的约束。输入中最常见的约束被叫做功率约束，这要求码字<math>(x_1, x_2, \dots, x_k)</math> 通过波道传送。我们有：

<math>

\frac{1}{k}\sum_{i=1}^k x_i^2 \leq P, \,\!</math>

其中 <math>P</math> 代表波道功率的最大值。因此波道容量的功率约束可以通过以下公式给出：

<math>

C = \max_{f(x) \text{ s.t. }E \left(X^2 \right) \leq P} I(X;Y) \,\!</math>

这里，<math>f(x)</math> 是 <math>X</math> 的分布。<math>I(X;Y)</math> 可以扩展为微分熵的形式：

<math>

\begin{align}
 I(X;Y) = h(Y) - h(Y|X) 
 &= h(Y) - h(X+Z|X) 
 &= h(Y) - h(Z|X)
\end{align}

\,\!</math>

但是 <math>X</math> 和 <math>Z</math> 是独立的，因此：

<math>

I(X;Y) = h(Y) -h(Z) \,\!</math>

通过计算高斯微分熵可给出：

<math>

h(Z) = \frac{1}{2} \log(2 \pi e N) \,\!</math>

因为 <math>X</math> 和 <math>Z</math> 是独立的并且它们的和给出了 <math>Y</math>：

<math>

E(Y^2) = E(X+Z)^2 = E(X^2) +2E(X)E(Z) + E(Z^2) = P + N \,\!</math>

从此约束中，我们可以从微分熵的属性中推断出：

<math>

h(Y) \leq \frac{1}{2} \log(2 \pi e (P+N)) \,\!</math>

因此通道容量可以通过可变资讯中的最高可获取约束求得：

<math>

I(X;Y) \leq \frac{1}{2} \log(2 \pi e (P + N)) - \frac{1}{2}\log(2 \pi e N) \,\!</math> 其中 <math>I(X;Y)</math> 在

<math>

X \sim \mathcal{N}(0, P) \,\!</math> 时最大。

因此 AWGN 的波道容量 <math>C</math>可以由此给出：

<math>

C = \frac{1}{2} \log\left(1 + \frac{P}{N}\right) \,\!</math>

时域中的影响

File:Zero crossing.jpg

Zero-Crossings of a Noisy Cosine

在串行数据通讯中，AWGN 数学模型被用来对由随机抖动引发的时间性错误建模。

右图中展示了和 AWGN 关联的时间性错误。变量 <math>\Delta t</math> 表示零点交叉处的不确定性。当 AWGN 中的幅度被提升时，信噪比降低。这导致不确定性 <math>\Delta t</math> 降低。

当受 AWGN 影响时。当输入是一个正弦波时，窄通频带滤波输出中的每一秒，不管是正向趋近于零点交叉还是负趋向于零点交叉的平均数都是：

<math>\frac{\mathrm{positive\ zero\ crossings}}{\mathrm{second}} = \frac{\mathrm{negative \ zero\ crossings}}{\mathrm{second}}</math>

<math> = f_0 \sqrt{\frac{\mathrm{SNR} + 1 + \frac{B^2}{12f_0^2}}{\mathrm{SNR} + 1}}</math>

其中

• f₀ = 滤波的中心频率
• B = 滤波器带宽
• SNR = 线性关系上的信噪功率比

相域中的影响

在现代通讯系统中，带宽受限的AWGN(加性高斯白杂讯)不容忽视。统计分析表明，对相量域中带宽受限的AWGN调制时，实部和虚部的幅度是遵循高斯分布模型的相互独立的变量。组合后，所产生的相量是符合瑞利分布的随机变量，而其相位从0到2π均匀分布。

参照

• 接地反弹
• 有噪波道编码定理
• 高斯过程