加性高斯白雜訊

加性高斯白雜訊（英語：Additive white Gaussian noise，AWGN）在通訊領域中指的是一種功率譜函數是常數（即白雜訊），且振幅服從高斯分佈的雜訊訊號。因其可加性、振幅服從高斯分佈且為白雜訊的一種而得名。

該雜訊訊號為一種便於分析的理想雜訊訊號，實際的雜訊訊號往往只在某一頻段內可以用高斯白雜訊的特性來進行近似處理。由於AWGN訊號易於分析、近似，因此在訊號處理領域，對訊號處理系統（如濾波器、低噪音高頻放大器、無線訊號傳輸等）的雜訊性能的簡單分析(如：訊號雜訊比分析)中，一般可假設系統所產生的噪音或受到的噪音訊號干擾在某頻段或限制條件之下是高斯白雜訊。

加性高斯白雜訊只是白雜訊的一種，另有泊松白雜訊等。

信道容量

AWGN 信道由一系列的<math>Y_i</math>（輸出） 來表示，其中的 <math>i</math> 表示離散的時間事件索引。<math>Y_i</math> 是 <math>X_i</math>（輸入）和<math>Z_i</math>（雜訊）的數值和，其中 <math>Z_i</math> 是獨立恆等分佈的隨機變量並來自於均值為 0，方差為 <math>N</math>（雜訊） 的正態分佈。<math>Z_i</math> 可以進一步認為和 <math>X_i</math> 有關。

<math>

Z_i \sim \mathcal{N}(0, N)

\,\!</math>

<math>

Y_i = X_i + Z_i

\,\!</math>

信道的容量是無窮的，除非雜訊 <math>n</math> 非零且 <math>X_i</math> 有足夠的約束。輸入中最常見的約束被叫做功率約束，這要求碼字<math>(x_1, x_2, \dots, x_k)</math> 通過信道傳送。我們有：

<math>

\frac{1}{k}\sum_{i=1}^k x_i^2 \leq P, \,\!</math>

其中 <math>P</math> 代表信道功率的最大值。因此信道容量的功率約束可以通過以下公式給出：

<math>

C = \max_{f(x) \text{ s.t. }E \left(X^2 \right) \leq P} I(X;Y) \,\!</math>

這裏，<math>f(x)</math> 是 <math>X</math> 的分佈。<math>I(X;Y)</math> 可以擴展為微分熵的形式：

<math>

\begin{align}
 I(X;Y) = h(Y) - h(Y|X) 
 &= h(Y) - h(X+Z|X) 
 &= h(Y) - h(Z|X)
\end{align}

\,\!</math>

但是 <math>X</math> 和 <math>Z</math> 是獨立的，因此：

<math>

I(X;Y) = h(Y) -h(Z) \,\!</math>

通過計算高斯微分熵可給出：

<math>

h(Z) = \frac{1}{2} \log(2 \pi e N) \,\!</math>

因為 <math>X</math> 和 <math>Z</math> 是獨立的並且它們的和給出了 <math>Y</math>：

<math>

E(Y^2) = E(X+Z)^2 = E(X^2) +2E(X)E(Z) + E(Z^2) = P + N \,\!</math>

從此約束中，我們可以從微分熵的屬性中推斷出：

<math>

h(Y) \leq \frac{1}{2} \log(2 \pi e (P+N)) \,\!</math>

因此通道容量可以通過可變資訊中的最高可獲取約束求得：

<math>

I(X;Y) \leq \frac{1}{2} \log(2 \pi e (P + N)) - \frac{1}{2}\log(2 \pi e N) \,\!</math> 其中 <math>I(X;Y)</math> 在

<math>

X \sim \mathcal{N}(0, P) \,\!</math> 時最大。

因此 AWGN 的信道容量 <math>C</math>可以由此給出：

<math>

C = \frac{1}{2} \log\left(1 + \frac{P}{N}\right) \,\!</math>

時域中的影響

File:Zero crossing.jpg

Zero-Crossings of a Noisy Cosine

在序列數據通訊中，AWGN 數學模型被用來對由隨機抖動引發的時間性錯誤建模。

右圖中展示了和 AWGN 關聯的時間性錯誤。變量 <math>\Delta t</math> 表示零點交叉處的不確定性。當 AWGN 中的振幅被提升時，訊號雜訊比降低。這導致不確定性 <math>\Delta t</math> 降低。

當受 AWGN 影響時。當輸入是一個正弦波時，窄通頻帶濾波輸出中的每一秒，不管是正向趨近於零點交叉還是負趨向於零點交叉的平均數都是：

<math>\frac{\mathrm{positive\ zero\ crossings}}{\mathrm{second}} = \frac{\mathrm{negative \ zero\ crossings}}{\mathrm{second}}</math>

<math> = f_0 \sqrt{\frac{\mathrm{SNR} + 1 + \frac{B^2}{12f_0^2}}{\mathrm{SNR} + 1}}</math>

其中

• f₀ = 濾波的中心頻率
• B = 濾波器帶寬
• SNR = 線性關係上的信噪功率比

相域中的影響

在現代通訊系統中，帶寬受限的AWGN(加性高斯白雜訊)不容忽視。統計分析表明，對相量域中帶寬受限的AWGN調制時，實部和虛部的振幅是遵循高斯分佈模型的相互獨立的變量。組合後，所產生的相量是符合瑞利分佈的隨機變量，而其相位從0到2π均勻分佈。

參照

• 接地反彈
• 有噪信道編碼定理
• 高斯過程