擺

File:Pendule de Foucault au musee des arts et metiers.jpg

傅科擺

File:Pendulum animation.gif

鐘擺原理

擺是一種實驗儀器，可用來展現種種力學現象。最基本的擺由一條繩或竿，和一個錘組成。錘繫在繩的下方，繩的另一端固定。當推動擺時，錘來回移動。擺可以作一個計時器。

類型

簡諧運動

若最高處（ <math>v=0</math> ）的繩子和最低處（速度最大值）的繩子的夾角 <math>\theta</math> 相當小（<math>\theta\leq 5^{\circ}</math>）時，可使用下列公式近似算出它的振動週期。

週期公式

• <math>T= 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} </math>（ <math>L</math> 為擺長； <math>g</math> 為當地重力加速度）

一擺長為 <math>1</math> 公尺的單擺，於地表處作小角度擺動可近似為簡諧運動，週期 <math>T \approx 2.0s</math>，這種單擺稱之為秒擺。

公式證明

一單擺擺錘正在擺盪最高處(此時 <math>v=0</math> )，繩和鉛直線有夾角 <math>\theta</math>，繩長為 <math>L</math>，相對於平衡點的位移為 <math>x</math>

此物體受下列力的影響（下列說明錯誤，繩子的張力是因為擺錘重力引起，任何一瞬間擺錘法向（徑向）合力為零，但切線加速度為 <math>-g\sin \theta</math> ）

• 繩子之拉力大小 <math>F</math>
• 重力大小 <math>F_{g}= mg</math>

繩子的拉力 <math>F</math> 有分力

• <math>F\cos \theta = mg</math>
• <math>F\sin \theta = kx</math>

<math>\because \underset{\theta \to 0}{\mathop{\lim }}\,\cos \theta =1</math>
<math>\therefore F \approx m_Gg</math>
<math> F \sin{\theta} = m_Gg \left( \frac{x}{L} \right) = k x </math>
解得 <math> k = \frac{m_Gg}{L} </math>

代入 <math> T = 2 \pi \sqrt{\frac{m_I}{k}} </math>

得到 <math> T = 2 \pi \sqrt{\frac{m_IL}{m_Gg}}</math>

根據廣義相對論可知，<math> m_I = m_G\, </math>

故 <math>T= 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}</math>

單擺

File:Simple pendulum height.png

File:Pendulum period.svg

sin θ 取為θ的誤差。

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取 <math>L</math> 為繩的長度， <math>\theta</math> 為繩和垂直平面的線的交角，<math>\theta_0</math> 為 <math>\theta</math> 的最大值，<math>m</math> 為錘的質量，<math>\ddot{\theta}</math> 表示角度加速度 <math>\alpha = \frac{{\rm{d}}^2 \theta}{{\rm{d}} t^2}</math> 。

忽略空氣阻力以及繩的彈性、重量的影響：

• 錘速率最高是在 <math>\theta = 0</math> 時。當錘升到最高點，其速率為 0。繩的張力沒有對錘做功，整個過程中動能和位能的和不變，機械能守恆。
• 運動方程為：

<math>m L \ddot{\theta} = -m {\rm{g}} \sin \theta</math>

注意到不論θ的值為何，運動週期和錘的質量無關。

當 <math>\theta</math> 相當小的時候，<math>\sin\theta \approx \theta </math>，因此可得到一條二階齊次常係數微分方程。此為一簡諧運動，週期 <math>T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} </math>。

準確的運動週期不可以用基礎函數求得。考慮微分方程：

<math>{{\rm{d}}t\over {\rm{d}}\theta} = {1\over\sqrt{2}}\sqrt{L\over {\rm{g}}}{1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}</math>

<math>T = \theta_0\rightarrow0\rightarrow-\theta_0\rightarrow0\rightarrow\theta_0 = 4\left(\theta_0\rightarrow0\right)</math>

<math>T = 4{1\over\sqrt{2}}\sqrt{L\over {\rm{g}}}\int^{\theta_0}_0{1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}\,{\rm{d}}\theta</math>

將上式重寫成第一類橢圓函數的形式：

<math>T = 4\sqrt{L\over {\rm{g}}}F\left({\sin{\theta_0\over 2}}, {\pi \over 2} \right)</math>

其中<math>F(k,\phi) = \int^{\phi}_0 {1\over\sqrt{1-k^2\sin^2{\theta}}}\,{\rm{d}}\theta.</math>

週期可以用級數表示成：

<math> T = 2\pi \sqrt{L\over {\mathrm{g}}} \left[ 1+ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \sin^2\frac{\theta_0}{2} + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right)^2 \sin^4 \frac{\theta_0}{2} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \right)^2 \sin^6 \frac{\theta_0}{2} + \cdots \right]</math>

<math> = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \left( 1+ \frac{1}{16}\theta_0^2 + \frac{11}{3072}\theta_0^4 + \cdots \right) = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \left[ \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{\left(2n\right)!}{2^{2n} \left(n!\right)^2} \right)^2 \sin^{2n} \left(\frac{\theta_0}{2}\right) \right]</math>

衝擊擺

File:Ballistic pendulum.svg

衝擊擺是來用計算子弹速度的實驗室儀器。它的原理為：物件碰撞前後動量守恒，擺運動時能量守恒。

衝擊擺和普通擺相似，特別之處它的錘會和射入子弹產生完全非彈性碰撞，即碰撞後兩者會合為一。

將子弹射向停止的錘，使錘和子弹合在一起擺動。設錘質量為<math>m_p\,</math>，子弹質量和初速度分別為<math>m_b\,</math>和v，錘和子弹碰撞後的速度為u。

以下是子弹速度的計算方法：

由動量守恒定律，

<math>m_b \times v + m_p \times 0 = (m_b + m_p) \times u</math>

由能量守恒定律，

<math>\frac{1}{2} (m_b + m_p) u^2 = (m_b + m_p) g h</math>

解得 <math>v = \frac{(m_b + m_p) \sqrt{2gh}}{m_b}</math>。

倒單擺

和台車和倒單擺組成的系統

和台車和倒單擺組成的系統

倒單擺有許多不同的架構，常見的有二種。

最簡單的是無質量的直桿一端接在固定的樞紐上，另一端連結重量，此架構類似一般單擺，但因為重量在樞紐點上方，直桿在重量下方，需支持重物不落下，因此會將單擺的線改為有剛性的直桿。

另外一種是將倒單擺放在可以一維水平運動的台車上，透過台車的水平運動來控制擺的位置。

倒單擺在擺直立朝上時可以平衡，不過是不穩定平衡，需要透過控制系統才能維持平衡。

圆錐擺

錐擺的路徑是平面上圓。擺運動時，繩的路徑為一個圓錐面。這是圓周運動。

複擺（物理擺/compound pendulum)

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當質量不集中或不規則的物體以轉軸吊起擺動時，此擺稱作複擺（物理擺）。由於有質量分佈的緣故，週期跟剛性物體重心對轉軸的轉動慣量（I）有關。根據平行軸定理及可以求出小角度複擺週期為 <math>T= 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}} </math>

雙擺(complex pendulum/double pendulum)

File:Double-Pendulum.svg

雙擺系統的一例

雙擺系統是混沌的。

磁性擺

和雙擺一樣，磁性擺系統是混沌的。

應用

傅科擺

傅科擺的移動可作為地球自轉的證據。

鐘擺

擺鐘。

為了減少溫度變化的影響，有不同的設計：

• 柵形補償擺（Gridiron Pendulum）：以不同金屬（鋼和銅）配搭，保持擺的長度不變
• Graham's pendulum：有一個水銀管柱，保持擺的重心不變
• 以木製擺
• Ellicott compensated pendulum：用多個擺的結構配合

參考

• Paul Appell, "Sur une interprétation des valeurs imaginaires du temps en Mécanique", Comptes Rendus Hebdomadaires des Scéances de l'Académie des Sciences, volume 87, number 1, July, 1878.
• The Pendulum: A Physics Case Study, Gregory L. Baker and James A. Blackburn, Oxford University Press, 2005