減法
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減法（英語：subtraction、法語：soustraction）是四則運算之一。減法運算的本質，就是「逆着加法去尋找原數」。
例如：<math>{ {5}-{2} } = 3 </math> 中，已知 <math>5</math> 是 <math>2</math> 和 <math>3</math> 的和，其中一個加數是 <math>2</math> ，求另一個加數 <math>3</math> 。
其中，<math>5</math> 稱為被減數，<math>2</math> 稱為減數，<math>3</math> 是 <math>5</math> 和 <math>2</math> 的差。
減法遵循幾個重要的規律：
減法不像加法那樣符合交換律，即改變運算順序會一同改變結果符號。它也不滿足結合律，也就是說，當需要連續減去兩個以上的數時，減法的執行順序會影響結果。由於 <math>0</math> 是加法單位元素，減去 <math>0</math> 不會改變一個數的值。
此外，減法在涉及相關運算（如加法和乘法）時也遵循可預測的規則。所有這些規則皆可從整數減法開始進行證明，並推廣至實數、乃至更廣泛的數學物件。所有遵循這些規律的通用二元運算在抽象代數中都有研究。
定義[編輯]
算術定義[編輯]
已知兩個加數的和與其中一個加數，求另一個加數的運算，符號為「 <math>-</math> 」，結果為差。
集合論定義[編輯]
在集合論中，減法通過差集定義。給定兩個集合 <math>A</math> 和 <math>B</math> ，它們的差集 <math>A \backslash B</math> 包含所有屬於 <math>A</math> 但不屬於 <math>B</math> 的元素。例如：
若 <math>A = \{1,2,3\}</math>，<math>B=\{2,4\}</math>，則 <math>A \backslash B = \{1,3\}</math>。
此外，在可計算性理論中，由於減法在自然數上並非良定義，數與數之間的運算實際上是通過「截斷減法」或稱為monus的運算來定義的。
代數結構中的定義[編輯]
- 群：若 <math>G</math> 是一個群，減法 <math>a-b</math> 定義為 <math>a+(-b)</math>，其中 <math>-b</math> 是 <math>b</math> 的加法反元素。
- 環與域：減法是加法的逆運算，滿足封閉性、結合律及分配律的擴展性質。
例如，在整數環 <math>\mathbb{Z}</math> 中，減法確保對任意 <math>a,b\in Z</math> ，存在唯一的 <math>c</math> 使得 <math>a = b + c</math> 。
符號與表示[編輯]
減法通常用被減數與減數之間的減號"-"來表示（中綴表示法的一種），運算結果則用等號「=」表示。例如：
- <math>2 - 1 = 1</math>（2 減 1 等於 1）
- <math>4 - 6 = -2</math>（4 減 6 等於 -2）
在某些情況下，即使沒有出現減號，減法運算亦可「約定俗成」。例如在記賬的一列數中，若下方數字以紅色顯示，則通常表示需要減去該列中較小的數，差值寫在該行下方橫線之下的位置。[1]
英語單詞subtraction（減法，名詞）來源於拉丁語動詞「subtrahere」，而該動詞本身由前綴「sub」（意為「（從）下方」）和動詞「trahere」（意為「拉拽」）複合構成。[2]因此，減法的字面含義就是「從下方拉出」或「取走」。而subtrahend（減數）則由添加動名詞後綴「-nd」派生（字面意義為「被拉出的事物」）。
minuend（被減數）則源於拉丁動詞「minuere」（意為「減少或縮小」），表示「被縮減的事物」。[3]
性質[編輯]
恆等性質[編輯]
任何數減去 0 都等於其本身：<math>a - 0 = a</math>。
非運算性質[編輯]
- 非交換律：<math>5 - 3 \neq 3 - 5</math>
- 非結合律：<math>(10 - 3) - 2 \neq 10 - (3 - 2)</math>
不同的減法運算[編輯]
自然數減法[編輯]
自然數集上的減法運算不滿足封閉性：只有當被減數大於或等於減數時，差值才是自然數。例如 <math>11</math> 減去 <math>26</math> 就無法得到自然數結果。對此有兩種處理方式：
- 偏函數法：直接假定 <math>11</math> 不能減去 <math>26</math> ，化減法為偏函數
- 整數擴展法：將結果表示為負整數，即 <math>11 - 26 = -15</math>
整數減法[編輯]
想像一條長度為 <math>b</math> 的線段，左端標記為 <math>a</math> ，右端標記為 <math>c</math> 。從 <math>a</math> 點出發，向右移動 <math>b</math> 個單位即可到達 <math>c</math> 點。在數學上，這種右移通過加法運算建模：
- <math>a + b = c</math>
而從 <math>c</math> 點出發，向左移動 <math>b</math> 個單位就能回到 <math>a</math> 點。這種左移則通過減法運算建模：
- <math>c - b = a</math>
再想像一條線段，這條線段則標有數字 <math>1</math> 、 <math>2</math> 、 <math>3</math> 。現在從位置 <math>3</math> 出發，向左移動 <math>0</math> 個單位，仍停留在 <math>3</math> ，因此 <math>3 - 0 = 3</math> ；向左移動 <math>2</math> 個單位，則到達位置 <math>1</math> ，因此 <math>3 - 2 = 1</math>。
此線段的局限在於，無以描述從位置 <math>3</math> 向左移動 <math>3</math> 個單位後的情況，需延長數軸（即沿用整數數軸）方可。
分數減法[編輯]
分數減法類似自然數和整數的減法，但要求分母相同。若兩分數分母不同，可用通分實現：
- <math>\frac a b - \frac c d = \frac{~{}ad - bc }{bd}</math>
實數減法[編輯]
實數體可通過僅定義兩個二元運算（加法與乘法）及兩個一元運算（求加法反元素與乘法反元素）來構建。此時，從被減數中減去減數的實數運算，可定義為被減數與該減數加法反元素的加法運算。例如：
- <math>3 - \pi = 3 + (-\pi)</math>
若不依賴這些一元運算，亦可將減法與除法作為基本二元運算來處理。
抽象代數減法[編輯]
向量減法[編輯]
在線性代數中，向量空間是一個允許向量相加及縮放的代數結構。所有實數的有序對組成的集合就是一個常見的向量空間：有序對 (a, b) 被解釋為歐幾里得平面上從原點到由 (a, b) 表示的點的向量。兩個向量的差是通過將對應的坐標相減完成的：(a, b) - (c, d) = (a - c, b - d)。
矩陣減法[編輯]
大小相同的兩個矩陣可以相減。兩個 m × n 矩陣 A 和 B 的差也是一個 m × n 矩陣，用 A - B 表示，由對應元素相加得到：
<math>\begin{align}
\mathbf{A} - \mathbf{B}
& = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\
\end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix}
a_{11} - b_{11} & a_{12} - b_{12} & \cdots & a_{1n} - b_{1n} \\
a_{21} - b_{21} & a_{22} - b_{22} & \cdots & a_{2n} - b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} - b_{m1} & a_{m2} - b_{m2} & \cdots & a_{mn} - b_{mn} \\
\end{bmatrix} \end{align}</math>
基於群論的減法[編輯]
設 <math>(G, +)</math> 為一個阿貝爾群。我們在 <math>G</math> 中定義一個新的內合成法則，稱為「減法」並記作"−"，其定義為：
- <math>x - y = x + (-y)</math>
其中 <math>-y</math> 表示元素 <math>y</math> 的反元素。
需要注意的是，既用"-"表示元素 <math>y</math> 的反元素 <math>-y</math> ，又表示二元運算 <math>x-y</math> ，屬於符號的濫用。
一般的減法運算性質在此群論框架下依然成立。
範疇論中的減法[編輯]
在範疇論中，減法並沒有統一的直接對應物，但可以藉助態射、核（kernel）、餘核（cokernel）、差分物件等抽象概念來表達類似於「減法」的關係。
二進制減法[編輯]
在計算機科學和數字邏輯中，減法是在二進制數之間進行的，通常使用補碼方法來簡化運算，詳見下文「計算機算法」。
運算方法[編輯]
豎式減法[編輯]
從右向左相減的方法[編輯]
美國豎式法[編輯]
在美國所謂的「傳統教學」中，學生在一年級末（或二年級期間）會學習一種針對多位整數的特定豎式減法運算，該流程會在四年級或五年級時擴展至包含小數的分數表示形式。目前幾乎所有美國學校都教授一種使用借位（或稱為重組，即分解算法）的豎式減法，並配合一套被稱為"輔助記號"（crutches）的標記系統。[4][5] 雖可能不願承認，中國國內的主流算法卻正是這種「美帝算法」。
用此法計算減法時，數從右向左逐位相減。具體操作步驟如下：
- 基本減法操作：用被減數（上方數字）的每一位減去減數（下方數字）對應位置的數字。
- 借位處理：當被減數的某一位數字小於減數對應位數字時（即"上方數字太小"），則：
- 先向該位"借10"（即在當前位數字上加10）
- 同時從其左邊相鄰的高位數字中"減去1"（即高位數字減1，相當於借出1個十）
- 連續運算：完成當前位的減法後，繼續處理下一數位，根據需要重複借位操作，直至完成所有數位的減法運算。
下面以計算 <math>753 - 491</math> 為例：
-
先看被減數與減數的個位，分別是3和1。
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3和1相減，結果是2，寫在個位上。
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再看兩數的十位，分別是5和9。5減不了9，怎麼辦呢？
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那就向百位「借10」！
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15就可以減9了，結果是6，寫在十位上。
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最後看兩數的百位，被減數餘6，減數是4。
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6和4相減，結果是2，寫在百位上。
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可得753和491的差是262。
美國豎式法還有一種變體，名為「先借位法」，其核心是：在進行任何減法運算之前，先完成所有的借位操作。[6]
下面以計算 <math>751 - 493</math> 為例：
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依然先看被減數與減數的個位，分別是1和3。1減不了3，先從十位「借10」得11。
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再看兩數的十位，被減數餘4，減數是9，同上操作得14。
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11和3相減，結果是8，寫在個位上。
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14和9相減，結果是5，寫在十位上。
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最後看兩數的百位，餘下的6與4相減，結果是2，寫在百位上。
可得751和493的差是258。
歐洲豎式法[編輯]
部分歐洲學校採用一種稱為歐洲法（或奧地利法）的豎式減法。此法不涉及借位運算，但會根據不同國家的習慣使用各種輔助記號（幫助記憶的標記）。[7][8]
下面以計算 <math>753 - 491</math> 為例：
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先看被減數與減數的個位，分別是3和1。
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3=1+2，所以結果是2，寫在個位上。
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再看兩數的十位，9加什麼等於5呢？這沒有自然數解。
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那就從百位「借10」！被減數「變成」了15。
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顯然，15=9+6，所以結果是6，寫在十位上。
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最後看兩數的百位。
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7=(4+1)+2，所以結果是2，寫在百位上。
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可得753和491的差是262。
從左向右相減的方法[編輯]
補數法的變體[編輯]
減法運算也可以從左到右進行。這種不常見的方法實際上是補數法的一種變體，其特點是在精確計算差值之前，先處理所有的借位（進位）問題。由於該方法既不需要記錄借位，也不需要記憶借位情況，因此不僅相對不易出現粗心錯誤，計算速度也非常快，甚至適用於心算。
下面以計算 <math>753 - 491</math> 為例：
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先看被減數與減數的百位，7和4相減，結果是3，寫在百位上。
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再看兩數的十位，5減不了9，怎麼辦呢？
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當然是從百位的3「借1」！15和9相減，結果是6，寫在十位上。
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最後看兩數的個位。
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3和1相減，結果是2。
可得753和491的差是262。
分步差減法[編輯]
分步差減法與其他豎式減法的相異在於：它既不需要借位，也不需要進位。取而代之的是，根據被減數與減數的大小關係，在相應數位上標註正號或負號——若被減數大於減數則記為正，反之則記為負。最終，將所有數位上的分步差值（正負結果）相加，所得總和即為最終的差值結果。[9]
下面以計算 <math>753 - 491</math> 為例：
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先看被減數與減數的百位，700-400=300，寫在橫線下。
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再看兩數的十位，50-90=-40，寫在橫線下「300」的下方。
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接着看兩數的個位，3-1=2，寫在橫線下「-40」的下方。
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最後將得到的三個新數相加：300+(-40)+2=262。
可得753和491的差是262.
非豎式減法[編輯]
遞增進數法[編輯]
不同於逐位計算差值，遞增進數法通過計算減數與被減數之間的數值增量來求得差值。[10]
示例：計算 <math>1234 - 567</math> 可通過以下步驟：
- <math>567 + 3 = 570</math>
- <math>570 + 30 = 600</math>
- <math>600 + 400 = 1000</math>
- <math>1000 + 234 = 1234</math>
將各步驟的遞增值相加即得總差值：<math>3 + 30 + 400 + 234 = 667</math>
分步拆解法[編輯]
另一種適用於心算的方法是將減法運算拆分為多個小步驟進行計算。[11]
示例：計算 <math>1234 - 567</math> 可通過以下步驟：
- <math>1234 -500 = 734</math>
- <math>734 - 60 = 674</math>
- <math>674 - 7 = 667</math>
恆等轉換法[編輯]
該方法基於"對被減數和減數同時加減相同數值不改變差值結果"的數學原理，通過調整減數至零值來簡化計算。[12]
示例：計算 <math>1234 - 567</math> 可通過以下步驟：
- <math>1234 - 567</math>
- <math>= 1237 - 570</math>
- <math>= 1267 - 600</math>
- <math>= 667</math>
參考資料[編輯]
- ↑ Cole (1921)，第145頁.
- ↑ Subtraction. 牛津英語詞典 (第三版). 牛津大學出版社. 2005-09 （English）.
- ↑ Minuend. 牛津英語詞典 (第三版). 牛津大學出版社. 2005-09 （English）.
- ↑ Klapper, Paul. The Teaching of Arithmetic: A Manual for Teachers. 1916: 80– [2016-03-11].
- ↑ Susan Ross and Mary Pratt-Cotter. 2000. "Subtraction in the United States: An Historical Perspective," The Mathematics Educator 8(1):4–11. p. 8: "This new version of the decomposition algorithm [i.e., using Brownell's crutch] has so completely dominated the field that it is rare to see any other algorithm used to teach subtraction today [in America]."
- ↑ The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics 互聯網檔案館的存檔，存檔日期2014-02-25. Subtraction: Trade First
- ↑ Klapper 1916, pp. 177–.
- ↑ David Eugene Smith. The Teaching of Arithmetic. Ginn. 1913: 77– [2016-03-11].
- ↑ Partial-Differences Subtraction 互聯網檔案館的存檔，存檔日期2014-06-23.; The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics 互聯網檔案館的存檔，存檔日期2014-02-25. Subtraction: Partial Differences
- ↑ The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics 互聯網檔案館的存檔，存檔日期2014-02-25. Subtraction: Counting Up
- ↑ The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics 互聯網檔案館的存檔，存檔日期2014-02-25. Subtraction: Left to Right Subtraction
- ↑ The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics Subtraction: Same Change Rule
