平方

File:X square.png

<math>y=x^2</math>

代數中，一個數的平方是此數與它的本身相乘所得的乘積，一個元素的平方是此元素與它的本身相乘所得的乘積，記作x²。平方也可視為求指數為2的冪的值。若x是正實數，這個乘積相當於一個邊長為x的正方形的面積；如果x為虛數，則這個乘積為負數。如果x為非虛數的複數，則這個乘積也是複數。

如果實數y = x²，就說y是x的平方；如果同時x是非負數，那麼x就是y的平方根。如果一個整數 <math>n</math> 是某個整數的平方，則稱 <math>n</math> 為一個完全平方數或平方數。有理數的平方一定是有理數，無理數的平方可以是有理數，也可以是無理數。

平方和

平方和通常指一些正整數的平方之和，整數的個數可以是有限個，也可以是無限多。 正整數的平方和公式如下：

<math>1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}</math>

證明

用數學歸納法證明如下：

<math>n=1</math>時，<math>1^2=\frac{1 \times 2 \times 3}{6}=1</math>成立

<math>n=2</math>時，<math>1^2+2^2=\frac{2 \times 3 \times 5}{6}=5</math>成立

設<math>n=k</math>時成立，即<math>1^2+2^2+3^2+....+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}</math>成立

當<math>n=k+1</math>時，

<math>1^2+2^2+3^2+....+k^2+(k+1)^2</math>

<math>=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2</math>

<math>=\frac{(k+1)(2k^2+k)}{6}+\frac{6(k+1)^2}{6}</math>

<math>=\frac{(k+1)[(2k^2+k)+6(k+1)]}{6}</math>

<math>=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6))}{6}</math>

<math>=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}</math>

<math>=\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}</math>

故<math>n=k+1</math>時亦成立，原式得證。

也可以用組合數公式來推導這個公式。

平方和也可以指：<math>a^2+b^2=(a+bi)(a-bi)</math>

參見

• 立方
• 次方