编辑“︁上积”︁（章节）

==其他定义==
===上积与微分形式===
在[[德拉姆上同调]]中，[[微分形式]]的上积由[[楔积]]导出。即，两个[[闭形式|闭]]微分形式的楔积属于两个原德拉姆类的上积的德拉姆类。

===上积与几何相交===
[[File:Linking Number 1.svg|thumb|[[环绕数]]可用链的补上的非零上积定义。这两个链循环在 <math>\mathbb{R}^3</math>变形中的补退化为环面和2球的楔和，其有度为1、不为零的上积。]]
对于定向流形，有几何启发式，即“上积与相交是对偶的”。<ref name=":0">{{Cite web|url=https://math.berkeley.edu/~hutching/teach/215b-2011/cup.pdf|title=Cup Product and Intersections|last=Hutchings|first=Michael|date=|website=|archive-url=https://web.archive.org/web/20230308114556/https://math.berkeley.edu/~hutching/teach/215b-2011/cup.pdf|archive-date=2023-03-08|access-date=|dead-url=no}}</ref><ref>{{Citation|last=Ciencias TV|title=Informal talk in Derived Geometry (Jacob Lurie)|date=2016-12-10|url=https://www.youtube.com/watch?v=YWpD6c69k_M |archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211221/YWpD6c69k_M |archive-date=2021-12-21 |url-status=live|accessdate=2018-04-26}}{{cbignore}}</ref>

令<math>M</math>为<math>n</math>维定向[[微分流形|光滑流形]]。若两个余维分别是''i''、''j''的[[子流形]]<math>A,B</math>[[横截 (数学)|横截]]着交，那么它们的交<math>A \cap B</math>又是余维是''i'' + ''j''的子流形。将这些流形的基本同调类的像置于包含（inclusion）之中，就可以得到同调上的双线性积，与上积是[[庞加莱对偶性|庞加莱对偶]]的，即取庞加莱对<math>[A]^*, [B]^* \in H^{i},H^{j}</math>则有以下等式：

<math>[A]^* \smile [B]^*=[A \cap B]^* \in H^{i+j}(X, \mathbb Z)</math>.<ref name=":0" />

同样，[[环绕数]]也可用交来定义，将维数移动1，或者用链之补上的非零上积来定义。