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==任意交集==

以上定義可根據[[并集#无限并集|无限并集]]和[[补集]]來推廣到任意集合的交集。

取一个集合 <math>\mathcal{M}</math> ，則根據[[策梅洛-弗兰克尔集合论#分類公理|分類公理]]可以取以下唯一存在的集合：

:<math>\bar{\mathcal{M}} :=\left\{
A \,|\,
(\exists M \in \mathcal{M})(A = M^c)
\right\}</math>。

也就是直觀上蒐集所有 <math>M^c</math> 的集合， 這樣的話有：

:<math>x \in \bigcup\bar{\mathcal{M}}
\Leftrightarrow
(\exists A)[
    (x \in A)
    \wedge
    (\exists M \in \mathcal{M})(A = M^c)
] </math>

根據[[一阶逻辑]]的定理([[一阶逻辑#量詞的簡寫|Ce]])，也就是：

:<math>x \in \bigcup\bar{\mathcal{M}}
\Leftrightarrow
(\exists M)[
    (M \in \mathcal{M})
    \wedge
    (x \notin M)
    \wedge
    (\exists A)(A = M^c)
]</math>

但根據[[一阶逻辑#等式定理|一阶逻辑的等式相關定理]]，下式：

:<math>(\exists A)(A = M^c)</math>

顯然是個[[一阶逻辑#定理與證明|定理]]（也就是直觀上為真），故：

:<math>x \in \bigcup\bar{\mathcal{M}}
\Leftrightarrow
(\exists M \in \mathcal{M})(x \notin M)</math>

換句話說：

:<math>x \in {\left(\bigcup\bar{\mathcal{M}}\right)}^c
\Leftrightarrow
(\forall M \in \mathcal{M})(x \in M)  </math>

那可以做如下的符號定義：

:<math>\bigcap\mathcal{M}
:=
{\left(\bigcup\bar{\mathcal{M}}\right)}^c</math>

稱為 <math>\mathcal{M}</math> 的'''任意交集'''或'''无限交集'''。也就是直觀上「對所有 <math>x</math> ， <math>x \in \bigcap\mathcal{M}</math> 等價於對任何 <math>\mathcal{M}</math> 的下屬集合 <math>M</math> ，都有 <math>x \in M</math>」

例如：

:<math>A\cap B = \bigcap \{A,\,B\}</math>

類似於[[并集#无限并集|无限并集]]，无限交集的表示符號也有多種

可模仿[[求和符号]]記為

: <math>\bigcap_{A\in \mathcal{M}} A</math>。

但大多數人會假設[[指标集]] <math>I</math> 的存在，換句話說

: 若 <math>I \,\overset{A}{\cong}\, \mathcal{M} </math> 則 <math>\bigcap_{i\in I} A(i) := \bigcap \mathcal{M} </math>

在[[指标集]] <math>I</math> 是[[自然数|自然数系]] <math>\N</math> 的情况下，更可以仿[[无穷级数]]來表示，也就是說：

: 若 <math>\N \,\overset{A}{\cong}\, \mathcal{M}</math> 則 <math>\bigcap^{\infty}_{i = 1} A(i) := \bigcap \mathcal{M}</math>

也可以更'''粗略直觀'''的將 <math>\bigcap^{\infty}_{i = 1} A(i)</math> 写作<math>A_{1} \cap  A_{2} \cap  A_{3} \cap \ldots</math>。