逻辑异或

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<math>\begin{smallmatrix} p \oplus q \end{smallmatrix} </math> 的文氏图

在数字逻辑中，逻辑算符异或（英语：Exclusive or）是对两个运算元的一种逻辑分析类型。与一般的逻辑或不同，当两两数值相同时为否，而数值不同时为真。

对于命题 <math>p, q</math>，<math>p</math>异或<math>q</math>通常记作<math>p \operatorname{XOR} q</math>或<math>p \oplus q</math>。在编程语言中，常写作p ^ q。

逻辑异或相当于逻辑不等价，或者说逻辑异或的逻辑非是逻辑等价。

真值表

异或运算<math>p \oplus q</math>的真值表如下：

<math>p</math>	<math>q</math>	<math>p \oplus q</math>
True	True	False
True	False	True
False	True	True
False	False	False
注：True：真，False：假。

无论怎样改变同一行中<math>p, q, p \oplus q</math>的位置，真值表都是成立的。

其他表示

在数学和工程学中，常常用其他的逻辑运算符来表示异或算符。异或算符可以使用逻辑算符逻辑与<math>\land</math>，逻辑或<math>\lor</math>和逻辑非<math>\lnot</math>表示为：

<math>

\begin{align} p \oplus q & = (p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q) = p\overline{q} + \overline{p}q \\

          & = (p \lor q) \land (\lnot p \lor \lnot q) = (p+q)(\overline{p}+\overline{q}) \\
          & = (p \lor q) \land \lnot (p \land q) = (p+q)(\overline{pq})

\end{align} </math>

另外，异或算符可以被推广，得到关于n个运算元的异或运算：n个运算元的n维异或的值为真当且仅当其中值为真的运算元有奇数个。

异或也可以被表示为：

<math>p \oplus q = \lnot ((p \land q) \lor (\lnot p \land \lnot q))</math>

异或还可以看作是逻辑等价关系的非运算。

性质

交换律：<math>p \oplus q = q \oplus p</math>

结合律：<math>p \oplus (q \oplus r) = (p \oplus q) \oplus r</math>

恒等律：<math>p \oplus 0 = p</math>

归零律：<math>p \oplus p = 0</math>

对合运算：<math>p \oplus q \oplus q = p\oplus 0 = p</math>

与抽象代数的关系

尽管算子<math>\wedge</math>（逻辑合取）与<math>\lor</math>（逻辑析取）是逻辑系统中最为常见的算子，但结构上，系统<math>(\{T, F\}, \wedge)</math> and <math>(\{T, F\}, \lor)</math>只是幺半群。因此，这两个系统无法合成为一个更大的结构，比如环或半环。

但是，带有逻辑异或的系统<math>(\{T, F\}, \oplus)</math>是一个交换群。因此，算子<math>\wedge</math>与<math>\oplus</math>的结合在集合<math>\{T, F\}</math>上作用就产生了最基本的二元域<math>F_2</math>。这个域可以得出所有运用<math>(\land, \lor)</math>可以得到的结果，并且由于附带了域的结构，可以进行代数上的进一步分析。

类似符号

名称	符号	Unicode	图形	符号的来源
地球	🜨	U+2295	地球的天文符号	带有赤道和一条经线的球体

应用

使用异或运算交换两个 int 类型变量的数值

C/C++

void swap(int *a, int *b) {
    *a ^= *b;
    *b ^= *a;
    *a ^= *b;
}

Java

public void swap(int a, int b) {
    a ^= b;
    b ^= a;
    a ^= b;
}

C#

public void swap(ref int a,ref int b)
{
    a ^= b;
    b ^= a;
    a ^= b;
}

Rust

fn swap<'a, 'b>( num_a: &'a mut i32, num_b: &'b mut i32 ) {
    *num_a ^= *num_b;
    *num_b ^= *num_a;
    *num_a ^= *num_b;
}

虽然XOR运算可用来交换变量，但比起使用额外变量来交换变量的做法相比，性能反而比较差。

参见

• 异或门
• 异或密码