素数阶乘
素数阶乘（又称：质数阶乘）是所有小于或等于该数的素数的积，自然数n的素数阶乘，写作n#。例如10以下的素数有：2、3、5、7，所以10# = 7×5×3×2 = 210。第n个素数阶乘的值，写作pn#。例：第三个素数为5，所以p3# = 5# = 5×3×2 = 30。 素数阶乘与阶乘不同于，素数阶乘是素数乘积而阶乘是自然数乘积。 素数阶乘由Harvey Dubner定义并命名。
用素数定义[编辑]
第n个素数pn的素数阶乘pn#定义为前n个素数的积：[1][2]
- <math>p_n\# = \prod_{k=1}^n p_k</math>
其中pk是第k个素数。
例如，p5#代表前五个素数的乘积：
- <math>p_5\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310</math>
前几个素数阶乘pn#是：
并定义p0# = 1 为空积。
素数阶乘pn#的渐进递增为：
- <math>p_n\# = \exp \left [ (1 + o(1)) \cdot n \log n \right ]</math>[2]
其中：
用自然数定义[编辑]
一般情况下，对于正整数n的一素数阶乘n#（或称作自然素数阶乘）也可以被定义为：[1][3]
- <math>n\# = \prod_{i=1}^{\pi(n)} p_i = p_{\pi(n)}\# </math>
其中，π(n)是素数计数函数（OEIS数列A000720），表示小于或等于某个实数n的素数的个数。
它等于：
- <math>
n\# = \begin{cases}
1 & \text{if }n = 1 \\
n \times ((n-1)\#) & \text{if }n > 1 \land n \text{ is prime} \\
(n-1)\# & \text{if }n > 1 \land n \text{ is composite}
\end{cases} </math>
例如，12# 代表素数≤ 12：
- <math>12\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11= 2310</math>
因为π(12) = 5，所以这个算式也可以写成：
- <math>12\# = p_{\pi(12)}\# = p_5\# = 2310</math>
前几个自然素数阶乘n#是：
不难发现当n为合成数时，n#的值总是与(n-1)#相同。例如上面提及的12# = p5# = 11#，因为12为合成数。
n#的自然对数是第一个切比雪夫函数，记为<math>\theta(n)</math> 或 <math>\thetasym(n)</math>。换句话说，若<math>n\#</math>是不大于n的素数的素数阶乘，则<math>\ln{n\#} = \thetasym(n)</math>，或等价地，<math>n\# = e^{\thetasym(n)}</math>[4]
素数阶乘n#的渐进递增为：
- <math>\ln (n\#) \sim n</math>
素数阶乘的概念可以用于证明素数是无限的。（参见证明黎曼ζ函数的欧拉乘积公式）
恒等式[编辑]
黎曼ζ函数在超过1的正整数可以素数阶乘与 Jordan's totient function <math>J_{k}(n)</math>表示：
<math> \zeta(k)=\frac{2^k}{2^k-1}+\sum_{r=2}^\infty\frac{(p_{r-1}\#)^k}{J_k(p_r\#)},\quad k=2,3,\dots </math>
素数阶乘列表（部分）[编辑]
| n | n# | pn | pn# |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 无素数 | 1 |
| 1 | 1 | 2 | 2 |
| 2 | 2 | 3 | 6 |
| 3 | 6 | 5 | 30 |
| 4 | 6 | 7 | 210 |
| 5 | 30 | 11 | 2310 |
| 6 | 30 | 13 | 30030 |
| 7 | 210 | 17 | 510510 |
| 8 | 210 | 19 | 9699690 |
| 9 | 210 | 23 | 223092870 |
| 10 | 210 | 29 | 6469693230 |
| 11 | 2310 | 31 | 200560490130 |
| 12 | 2310 | 37 | 7420738134810 |
| 13 | 30030 | 41 | 304250263527210 |
| 14 | 30030 | 43 | 13082761331670030 |
| 15 | 30030 | 47 | 614889782588491410 |
参见[编辑]
参考文献[编辑]
- Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987.
- ^ 1.0 1.1 Weisstein, Eric W. (编). Primorial. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （English）.
- ^ 2.0 2.1 2.2 Sloane, N.J.A. (编). Sequence A002110 (Primorial numbers (first definition): product of first n primes. Sometimes written prime(n)#). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A034386 (Primorial numbers (second definition): n# = product of primes <= n.). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Chebyshev Functions. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （English）.