β范式

在λ演算中，若一个项不能β归约，则称为β范式（β规范型）；如果既不能β归约，又不能η归约，则称为β-η范式。如果不能在头部β归约，则称为头部范式。

β归约[编辑]

在λ演算中，β可归约式(redex)是如下形式的项

<math> ((\mathbf{\lambda} x . A(x)) t) </math>

这里的<math>A(x)</math>是（可能）涉及变量<math>x</math>的项。

“在头部位置的β归约”是把如下重写规则应用于一个β可归约式

<math> ((\mathbf{\lambda} x . A(x)) t) \rightarrow A(t)</math>

这里的<math>A(t)</math>是把项<math>A(x)</math>中变量<math>x</math>替换为项<math>t</math>的结果。

一个β归约在头部位置，如果它有如下形式：

<math> \lambda x_0 \ldots \lambda x_{i-1} . (\lambda x_i . A(x_i)) M_1 M_2 \ldots M_n \rightarrow

        \lambda x_0 \ldots \lambda x_{i-1} . A(M_1) M_2 \ldots M_n </math>, where <math> i \geq 0, n \geq 1 </math>.

不是这种形式的任何归约都是内部β归约。

一般的说，对于给定项有多个不同的可能的β归约。正规序归约是一种求值策略，它始终应用“头部位置的β归约”的规则，直到没有更多的这种归约是可能的。在这一点上，结果的项是“头部范式”。

相反的，在应用序归约中，首先应用内部归约，而只在没有更多的内部归约是可能的时候应用头部归约。

正规序归约是完备的，在如果一个项有头部范式则正规序归约总是能最终达到它的意义上。相反的，应用序归约可能不终止，即使在这个项有规范形式的时候。例如，使用应用序归约，下列归约序列是可能的：

<math> (\mathbf{\lambda} x . z) ((\lambda w. w w w) (\lambda w. w w w)) </math>

<math> \rightarrow (\lambda x . z) ((\lambda w. w w w) (\lambda w. w w w) (\lambda w. w w w))</math>

<math> \rightarrow (\lambda x . z) ((\lambda w. w w w) (\lambda w. w w w) (\lambda w. w w w) (\lambda w. w w w))</math>

<math> \rightarrow (\lambda x . z) ((\lambda w. w w w) (\lambda w. w w w) (\lambda w. w w w) (\lambda w. w w w) (\lambda w. w w w))</math>

<math>\ldots</math>

而使用正规序归约，同样的起点迅速的归约到范式：

<math> (\mathbf{\lambda} x . z) ((\lambda w. w w w) (\lambda w. w w w)) </math>

<math> \rightarrow z </math>