群环

在抽象代数中，群环是从一个群 <math>G</math> 及交换环 <math>R</math> 构造出的环，通常记为 <math>R[G]</math> 或 <math>RG</math>。其定义为：

<math>R[G] := \bigoplus_{g \in G} R e_g \qquad</math> （换言之，这是由基底 <math>\{ e_g : g \in G\}</math> 张出的自由 <math>R</math>-模）

其上的 <math>R</math>-线性乘法运算由 <math>e_g \cdot e_h = e_{gh}</math> 给出。<math>R[G]</math> 对 <math>R</math>-模的加法与上述乘法形成一个 <math>R</math>-代数。乘法单位元素为 <math>1 := e_e</math>。

最常用的是 <math>R = \Z</math> 或 <math>R = \mathbb{C}</math> 的群环。对于后者，<math>\mathbb{C}[G]</math> 成为 <math>G</math> 的表示：<math>s \sum a_g e_g = \sum a_g e_{sg}</math>；若 <math>G</math> 为有限群，则称此表示为正则表示。正则表示与有限群的表示理论有密切的联系。

对于无穷阶的群 <math>G</math>，迄今对群环的结构仍所知甚少。对于局部紧拓扑群，通常采用 <math>C_c(G)</math> 或 <math>L^1(G)</math> 对折积构成的代数，较有利于研究群的拓扑性质及其表示。

例子

令 <math>G = C_3</math> ，即阶为 <math>3</math> 的循环群，其中 <math>a</math> 为群的一个生成元， <math>1_G</math> 为其单位元。群环 <math>\mathbb{C}[G]</math> 中的元素 <math>r</math> 可以表示成

<math>z_0 1_G + z_1 a + z_2 a^2</math>

其中 <math>z_0</math> ，<math>z_1</math> 以及 <math>z_2</math> 皆为 <math>\mathbb{C}</math> 中的元素，即复数。

对群环中其他的元素 <math>s = w_0 1_G + w_1 a + w_2 a^2</math> ，我们可以定义群环的加法

<math>r + s = (z_0 + w_0) 1_G + (z_1 + w_1) a + (z_2 + w_2) a^2</math>

以及乘法

<math>rs = (z_0w_0 + z_1w_2 + z_2w_1) 1_G + (z_0w_1 + z_1w_0 + z_2w_2) a + (z_0w_2 + z_1w_1 + z_2w_0) a^2</math>

文献

• A. A. Bovdi, Group algebra, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （English） 
• C.W. Curtis, I. Reiner, Representation theory of finite groups and associative algebras, Interscience (1962)
• D.S. Passman, The algebraic structure of group rings, Wiley (1977)