循环单位

在趣味数学中，循环单位是由1组成的数如1, 11, 111, 1111等。

1966年，A.H. Beiler称这类数为repunit，表示repeated unit。

对于n≥1，循环单位可以这样定义：

<math>R_n^{(b)}={b^n-1\over b-1}\qquad\,\!</math>

亦可以用递归的方法：

<math>R_0=0\,\!</math>

<math>R_n=bR_{n-1}+1\,\!</math>

其中<math>b\,\!</math>是进位制的底。在这篇文章，循环单位都是指十进制中的。

循环单位的平方

<math>R_1\,\!</math>至<math>R_b\,\!</math>的循环单位，<math>R_n\,\!</math>的平方有一个很有趣的性质，它们都会得出由1到<math>n\,\!</math>的数字顺序组成的回文数。例如十进制中的：

        1×1        =        1
       11×11       =       121
      111×111      =      12321
     1111×1111     =     1234321
    11111×11111    =    123454321
   111111×111111   =   12345654321
  1111111×1111111  =  1234567654321
 11111111×11111111 = 123456787654321
111111111×111111111=12345678987654321

而上述原则于十进制，只在<math>n<10\,\!</math>的情况下才能生效，因为在<math>n>9\,\!</math>的情况下，<math>R_n\,\!</math>的平方已经不能组成回文数。例如：

      11111111111×1111111111      =      1234567900987654321
     111111111111×11111111111     =     123456790120987654321
    1111111111111×111111111111    =    12345679012320987654321
   11111111111111×1111111111111   =   1234567901234320987654321
  111111111111111×11111111111111  =  123456790123454320987654321
 1111111111111111×111111111111111 = 12345679012345654320987654321
11111111111111111×1111111111111111=1234567901234567654320987654321
...

虽然在<math>9<n<19\,\!</math>的情况下，<math>R_n\,\!</math>的平方不能组成回文数，却有着固定的结构：

1. 如果<math>n=10\,\!</math>，前缀：123456790，后缀：0987654321
2. 如果<math>n>10\,\!</math>，前缀：123456790，中段：从1开始顺序数数，直至得出<math>n\,\!</math>与9的差，再倒数至2，后缀：0987654321

循环单位素数

当<math>n</math>能被大于1的<math>k</math>整除时，<math>R_k|R_n</math>（例如<math>111111111 = 111 \times 1001001</math>），因此若<math>R_n</math>是素数，<math>n</math>必须是素数。

现在已知<math>n = 2, 19, 23, 317, 1031</math>时，<math>R_n</math>是素数，而<math>n = 49081, 86453, 109297, 270343, 5794777, 8177207</math>的<math>R_n</math>则可能是伪素数，<math>R_{8177207}</math>是目前已知最大的可能素数。

号码	n	年份	发现者
1	2	－	－
2	19	－	－
3	23	－	－
4	317	1978年	Williams, Dubner
5	1031	1986年	Dubner
6	49081	1999年	Dubner
7	86453	2000年	Baxter
8	109297	2007年	Bourdelais, Dubner
9	270343	2007年	Voznyy, Budnyy
10	5794777	2021年	Batalov, Propper
11	8177207	2021年	Batalov, Propper

参见

• 循环单位因数表