球面像差
球面像差（spherical aberration，SA）又称球差，属于光学系统中的一种像差，其产生是从主光轴上的一个物点发出的光束，经光学系统后不相交于一点，而是在理想像平面上形成一个弥散的状如圆像光斑，近轴光线交于较远处，而边缘光线交于较近处；与彗差的产生是因轴外物点发出的宽光束有别。
球面像差一般发生在经过透镜折射或面镜反射的光线，接近中心与靠近边缘的光线不能将影像聚集在一个点上。这在望远镜和其他的光学仪器上都是一个缺点。这是因为透镜和面镜必须满足所需的形状，否则不能聚焦在一个点上造成的。
由于球面透镜的表面曲率恒定，其边缘区域的折射能力更强，因此球差是球面透镜的固有特性。在高精度光学系统（如相机镜头、显微镜）中，使用非球面透镜或组合透镜可以校正球差。
球面像差与镜面直径的四次方成正比，与焦长的三次方成反比，所以他在低焦比的镜子，也就是所谓的“快镜”上就比较明显。
对使用球面镜的小望远镜，当焦比低于f/10时，来自远处的点光源（例如恒星）就不能聚集在一个点上。特别是来自镜面边缘的光线比来自镜面中心的光线更不易聚焦，这造成影像因为球面像差的存在而不能很清晰的成象。所以焦比低于f/10的望远镜通常都使用非球面镜或加上修正镜。
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球面像差。一个理想的镜面(顶端)，能经所有入射的光线汇聚在光轴上的一个点，但一个真实的镜面(底端)会有球面像差：靠近光轴的光线会比离光轴较远的光线较为紧密的汇聚在一个点上，因此光线不能汇聚在一个理想的焦点上(图较为夸张)
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一个 点光源 在负球面像差(上) 、无球面像差(中)、和正球面像差(下)的系统中的成像情形。左面的影像是在焦点内成像，右边是在焦点外的成像
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平行光束通过透镜后聚焦像的纵切面，上：负球面像差，中：无球面像差，下：正球面像差。镜子位于图的左侧
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来自球面镜的球面像差
球面像差公式[编辑]
- 单球面
一个球面，PA 为由球面顶点到非近轴光线入射点距离，球面左右介质的折射率分别为n，n'；非近轴入射角，折射角分别为J，J'；非近轴入射线和折射线与光轴的夹角分别为U，U'；近轴光线的入射角为i；这个球面对球面像差的贡献为[1]
球面像差=<math>\frac{-2*PA*sin(-(1/2)*J'+(1/2)*J)*sin((1/2)*J'-(1/2)*U)*n*i}{(n'*u'*sin(U))}</math>
在四种情况下，球面像差为零：
- PA=0：物体和像与球面顶点重合；
- I'=I：物体和物象在球面的曲率中心；
- i=0；
- I=U'或I'=U：在这种情形下的球面成为消球差曲面。
- 消球差球面
根据球面折射的基本方程可以导出[2]：
<math>L=\frac{r*(n+n')}{n}</math>
<math>L'=\frac{r*(n+n')}{n'}</math>
对于消球差曲面，凡是射向同一点B入射光，其折射线与光轴相交于一个共同点B'。
<math>BC=L-r=r*\frac{n}{n'}</math>
<math>BC=L'-r=r*\frac{n'}{n}</math>
例如，n=1，n'=1.5[3]。
<math>L=2.5*r</math>
<math>L'=1.6667*r</math>
消球差曲面多用于高倍率显微镜的物镜[4][3]。一个消球差薄透镜由一个消球差球面和一个平面镜组成，对于平行光。消球差薄透镜等同一块平板玻璃，对于聚合光束，消球差薄透镜增加光束的聚合度，对于发散光束，消球差薄透镜增加光束的发散度[5]。
- 同轴球面系
对于一个由多个球面组成镜头，球面像差由以下公式给出[6]：
LA'=trans+newsp
其中 trans=<math>\frac{LA*n[1]*n'[1]*sin(U[1])}{(n'[k]*u'[k]*sin(U'[k]))}</math>
newsp= <math>\sum_{k=1}^k (\frac{-2*PA*sin(-(1/2)*J'+(1/2)*J)*sin((1/2)*J'-(1/2)*U)*n*i}{(n'[k]*u'[k]*sin(U[k]))}</math>
球面像差展开式[编辑]
球面像差可表示为
LA'=<math>a*Y^2+b*Y^4+c*Y^6+</math>………………[7][8]。其中Y是入射光线的在球面入射点到光轴的距离。
红线代表二次项，蓝线代表二次和四次项之和，黑线为二、四、六次项之和
薄透镜组的球面像差[编辑]
亚历山大·尤金·康拉迪推导出薄透镜组的球面像差公式如下[9][10]:
SC=<math>\frac{y^4}{n_0'*u_0^2}*\sum(G_1*c^3-G_2*c^2*c_1+G_3*c^2*v_1+G_4*c*c_1*v_1+G_6*c*v_1^2)</math>。
其中“0”代表最后的结果，Σ代表对各镜片之和
- <math>c=\frac{1}{f*(n-1)}</math>
- <math>c=\frac{1}{r_1}</math>
- <math>G_1=\frac{n^2*(n-1)}{2}</math>
- <math>G_2=\frac{1}{2}*(2*n+1)(n-1)</math>
- <math>G_3=\frac{1}{2}*(3n+1)(n-1)</math>
- <math>G_4=\frac{1}{2*n}*(n+2)(n-1)</math>
- <math>G_5\frac{1}{2*n}*(n^2-1)</math>
- <math>G_6=\frac{1}{2*n}*(3*n+2)</math>
薄透镜的球面像差[编辑]
对于单薄镜片，上式可简化为[11]。
单镜片的球面像差=LA'=<math>-y^2*l'^2*(\sum(G_1*c^3-G_2*c^2*c_1+G_3*c^2*v_1+G_4*c*c_1*v_1+G_6*c*v_1^2)</math>
令上式对c_1的导数为零，可求得单镜片具有最小球面像差的条件[12]:
<math>\frac{dLA'}{dc_1}</math>=<math>-y^2*l'^2*(-G_2*c^2+2*G_4*c*c_1-G_5*c*v_1)=0</math>
即 <math>c_1=\frac{G_2c+G_5v_1}{2G_4}</math>=<math>\frac{0.5*n*(2*n+1)*c+2*(n+1)*v_1}{n+2}</math>.
当物距为无穷远时，v_1=0;
于是
<math>\frac{c_2}{c_1}=\frac{r_1}{r_2}=\frac{2n-n-4}{n*(2n+1)}</math>[13]。
| n | r_1/r_2 |
|---|---|
| 1.5 | -6 |
| 1.518 | -6.7374 |
| 1.6 | -14 |
| 1.7 | 93.5 |
| 1.8 | 12.1765 |
| 2 | 5 |
| 3 | 1.9 |
| 4 | 1.5 |
参考文献[编辑]
- von Rohr莫里兹·冯·罗尔, Moritz. Geometrical Investigation of the Formation of Images in Optical Instruments. H.M.STATIONARY, LONDON. 1920.
- Conrady亚历山大·尤金·康拉迪, Alexander Eugen. applied Optics & Optical design. DOVER PUBLICATION. 1957.
- Kingslake 鲁道夫·京斯莱克, Rudolf. LENS DESIGN FUNDAMENTALS. ACADEMIC PRESS,NEW YORK. 1978. ISBN 012374301X.