开尔文船波
尾波（英语：wake）是固体在划过流体（特别是液体）表面时在尾部产生的V形传播的波，例如水鸟或船舶匀速游过水体时在水面激起的后方波纹。因为由英国的开尔文男爵——物理学家威廉·汤姆森（William Thomson，1824～1907）最先对船波进行数学研究，因此也称为开尔文船波（Kelvin wake或Kelvin ship wave）。
数学原理[编辑]
船形物体的尾波形状和福禄数<math>Fr</math>有密切关系。
<math>Fr=\frac{V}{\sqrt{gl}}</math>
其中g为重力常数，V是船速，l是船的长度。
令船的长度<math>l=k\cdot \frac{V^2}{g}</math> 则<math>Fr=\frac{1}{\sqrt{k}}</math>.
对于长度大而速度低的轮船，Fr数小，开尔文船波主要是长波，其波前与速度矢量的夹角比较小。
而小快艇，长度小，速度高，Fr 数大，开尔文船波则以短波长的水波为主，而波前则与速度矢量成较大的夹角。[1]
开尔文船波动研究，对于船舶的设计有重要意义，因为船舶的马力，有一部分消耗在激起船波。利用Fr数与速度成正比，与长度的平方根成反比的规律，可以利用小的模型，缩小船长<math>M^2</math>倍，同时缩小速度M倍，可以在实验室中模拟海上舟。[2]
多鞍点函数积分[编辑]
当船只以速度V驶过深水湖面，波形的幅度在相对于船只为静止的极坐标（<math>\rho,\phi</math>中在船只的速度矢量方向，<math>\phi=0</math>），由下列公式表示[3]
<math>K(\phi,\rho)=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\rho\frac{\cos(\theta+\phi)}{\cos^{2}\theta}d\theta</math>
其中<math>\rho=gr/V^2</math>
<math>\frac{1}{\rho}=\frac{V^2}{gr}</math>是福禄数的平方<math>Fr^2</math>
<math>g</math>为重力常数<math>l</math>为船的长度。
上列K函数是下列多鞍点积分的正数部分：
<math>K(\phi,\rho)=\Re(\int_{-\infty}^{\infty}\exp(i\rho f(\theta,\rho)d\theta)</math> 其中，多鞍点积分的核函数为
<math>f(\theta,\phi)=-\frac{\cos(\theta+\phi)}{\cos^2\theta}</math>
此核函数是一个多鞍点函数，振荡剧烈如图
求其极点，
<math>\frac{df(\theta,\phi)}{d\theta}=\frac{\sin(\theta+\phi)}{\cos(\theta)^2}-\frac{2\cos(\theta+\phi)\sin(\theta)}{\cos(\theta)^3}=0</math>
解之，得
<math>\theta_1=\arctan(\frac{(1/4)(1+\sqrt{(1-8\tan(\phi)^2))}}{\tan(\phi)})=-\arctan(\frac{(1/4)(-1+\sqrt(1-8\tan(\phi)^2))}{\tan(\phi)})</math>
由此
<math>\phi_1=19.47</math>度,
<math>\phi_2=-19.47</math>度
这就是凯尔文船波的V型波包线的夹角，最早由凯尔文男爵发现，而且角度与船速无关.[4][5]至于波纹本身则与船速矢量的夹角为
<math>\theta=\pi-19.47=35.3</math>°[1]
开尔文驻相法[编辑]
开尔文船波积分<math>K(\phi,\rho)</math>必须通过数值积分计算。开尔文男爵根据被积分函数在积分区间内剧烈震荡的特点，提出了驻相法（Method of Stationary Phase）。
原理：当被积分函数剧烈震荡时，除了在极点外，震荡的被积分函数正负相抵消，因此可以将此被积分函数在极点的值作为整个积分的近似，驻相法乃是拉普拉斯方法的推广。[6]
被积分函数 <math>f(\theta,\phi)=-\frac{cos(\theta+\phi)}{cos^2\theta}</math> 的两个极点是：
<math>\theta_p=arctan(\frac{(1/4)*(1+\sqrt{(1-8*tan(\phi)^2))}}{tan(\phi)})</math>
<math>\theta_m=-arctan(\frac{(1/4)*(-1+\sqrt(1-8*tan(\phi)^2))}{tan(\phi)})</math>
令
<math>f_m=f(\theta_m,\phi)=\frac{sin((1/2)*\phi-(1/2)*arcsin(3*sin(\phi)))}{sin((1/2)*\phi+(1/2)*arcsin(3*sin(\phi)))}</math>
<math>f_p=f(\theta_p,\phi)=\frac{cos((1/2)*\phi+(1/2)*arcsin(3*sin(\phi)))}{cos(-(1/2)*\phi+(1/2)*arcsin(3*sin(\phi)))}</math>
<math>fbar := 1/2*(f_p+f_m)</math>
<math>D2F=\frac{d^2 F(\theta,\phi)}{d\theta^2}</math>
<math>D2F_p=D2F(\theta_p,\phi)</math>
<math>D2F_m=D2F(\theta_m,\phi)</math>
<math>\Delta := (3/4*(f_m-f_p))^(2/3)</math>
<math>u=\sqrt{\frac{\Delta^{1/2}}{2}}*(\frac{1}{\sqrt{D2F_p}}+\frac{1}{\sqrt{-D2F_m}})</math>
<math>v=\sqrt{\frac{2}{\Delta^{1/2}}}*(\frac{1}{\sqrt{D2F_p}}-\frac{1}{\sqrt{-D2F_m}})</math>
<math>K(\phi,\rho)\approx 2*\pi*(u*cos(\rho*fbar)*AiryAi(-\rho^(2/3)*\Delta)/\rho^(1/3)+v*sin(\rho*fbar)*AiryAi(1, -\rho^(2/3)*\Delta)/\rho^(2/3))</math>
开尔文船波的波峰，由下列两个参数方程式描述[7]
<math>x := X*sin(\beta)*(1-(1/2)*sin(\beta)^2)</math>
<math>y := X*sin(\beta)^2*cos(\beta)/(2*M)</math>
参见[编辑]
外部链接[编辑]
脚注[编辑]
- ^ 1.0 1.1 James LightHill, p274
- ^ James Lighthill p275
- ^ Frank Oliver, p790-791
- ^ Shu, Jian-Jun. Transient Marangoni waves due to impulsive motion of a submerged body. International Applied Mechanics. June 2004, 40 (6): 709–714. Bibcode:2004IAM....40..709S. arXiv:1402.4474 可免费查阅. doi:10.1023/B:INAM.0000041400.70961.1b.
- ^ Shu, Jian-Jun. Transient free-surface waves due to impulsive motion of a submerged source. Underwater Technology. 1 September 2006, 26 (4): 133–137. arXiv:1402.4387 可免费查阅. doi:10.3723/175605406782725023.
- ^ Frank Oliver, p790-795
- ^ James LightHill,p277
参考文献[编辑]
- Frank J. Oliver, NIST Handbook of Mathematical Functions, 2010, Cambridge University Press
- Jame Lighthill Waves in Fluids, Cambridge University Press 1979