因式分解
因式分解 ( 英语: factorization )，此处特指多项式因式分解（英语：Polynomial Factorization[注 1]），是代数学中的一种运算，指将一个多项式表示为两个或多个较低次多项式的乘积。[注 2]其目的通常是将原本较复杂的多项式转化为较简单的形式，以利于求根、化简或进一步分析。
例如：
单元多项式<math>x^2 - 1^2</math>可被因式分解为<math>\left( x+1 \right) \left( x-1 \right)</math>。
又如二元多项式<math>x^2 - y^2</math>因式分解为<math>\left( x+y \right) \left( x-y \right)</math>。
如果将系数域由整数扩张至复数域，则，
<math>x^2 + 1^2</math>可被因式分解为<math>\left( x+i \right) \left( x-i \right)</math>。
通常，多项式因式分解最终会写为若干不可约多项式（irreducible）的乘积。
定义[编辑]
数域<math>P</math>上每个高于一次的多项式<math>f(x)</math>都可以分解为该数域P上的多个不可约多项式<math>p_i(x)</math>的乘积，为因式分解。
在复数域上，每个不可约多项式都是一次的，因此高于一次的复系数多项式，都可以唯一地分解为多个一次式之积。
在实数域上，不可约的多项式都是一次或二次的，因此高于一次的实系数多项式，都可以唯一地分解为一次、二次多项式之积。
在有理数域上，不可约多项式可以有任何次。例如，在有理数范围内，当<math>n</math>为正整数时，关于<math>x</math>的多项式<math>x^n + 2</math>无法再分解[1]。
因式分解定理[编辑]
数域F上每个次数<math>\ge 1</math>的多项式<math>f(x)</math>都可以分解成数域F上一些不可约多项式的乘积，并是唯一的，即如果有两个分解式
<math>f(x)=p_1(x)p_2(x)p_3(x) \cdots p_s(x)=q_1(x)q_2(x) \cdots q_t(x)</math>
其中<math>p_i(x)(i=1,2,\cdots,s)</math>和<math>q_j(x)(j=1,2,\cdots,t)</math>都是数域F上的不可约多项式，那么必有<math>s=t</math>，而且可以适当排列因式的次序，使得
<math>p_i(x)=c_iq_i(x)(i=1,2,\cdots,s)</math>,其中<math>c_i(i=1,2,\cdots,s)</math>是一些非零常数
分解方法[编辑]
公因式分解(抽)[编辑]
原则：
- 分解必须要彻底（即分解后之因式均不能再做分解）
- 结果最后只留下小括号
- 结果的多项式首项为正。
在一个公式内把其公因子抽出，例子：
- <math>7a+98ab</math>
- 其中，<math>7a</math>是公因子。因此，因式分解后得到的答案是：<math>7a(1+14b)</math>
- <math>51a^4b^7+24a^3b^2+75a^5b^5</math>
- 其中，<math>3a^3b^2</math>是公因子。因此，因式分解后得到的答案是：<math>3a^3b^2(17ab^5+25a^2b^3+8)</math>
公式法[编辑]
两个立方数之和 <math display=block> a^3 + b^3 = (a +b)(a^2 - ab + b^2)</math>
两个立方数之差 <math display=block> a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)</math>
两个n次方数之差 <math display="block">a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^{2}...... ab^{n-1}+ b^{n-1})</math>
两个奇数次方数之和 <math display="block">a^n + b^n = (a + b) (a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^{2}...... ab^{n-1}+ b^{n-1})</math>
分组分解法[编辑]
透过公式重组，然后再抽出公因数，例子：
<math>\begin{align} &3a^2b-5y+12a^3b^2-20aby\\ =& (3a^2b+12a^3b^2)-(5y+20aby)\\ =& 3a^2b(1+4ab)-5y(1+4ab)\\ =& (1+4ab)(3a^2b-5y) \end{align} </math>
<math> \begin{align} &15n^2+2m-3n-10mn \\ =&(15n^2-3n)+(2m-10mn) \\ =&3n(5n-1)+2m(1-5n) \\ =&3n(5n-1)-2m(5n-1) =&(5n-1)(3n-2m) \end{align}</math>
拆添项法[编辑]
透过添项然后减掉，然后再抽出公因数，例子：
<math>\begin{align} &x^4+x^2+1 \\ =&x^4+x^2+x^2-x^2+1 \\ =&x^4+2x^2-x^2+1 \\ =&x^4+2x^2+1-x^2 \\ =&\left(x^2+1\right)^2-x^2 \\ =&\left(x^2+1-x\right)\left(x^2+1+x\right) \\ =&\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)\end{align}</math>
或者透过分裂某项，然后再抽出公因数，例子：
<math>x^3-7x+6</math>
其中，<math>-7x</math>可以被拆成<math>-x</math>和<math>-6x</math>。所以，<math>x^3-7x+6</math>可以被写成<math>x^3-x-6x+6</math>。因此，
<math>\begin{align} &x^3-7x+6 \\ =&x^3-x-6x+6 \\ =&\left(x^3-x\right)-\left(6x-6\right) \\ =&x\left(x^2-1\right)-6\left(x-1\right) \\ =&x\left(x+1\right)\left(x-1\right)-6\left(x-1\right) \\ =&\left[x\left(x+1\right)-6\right]\left(x-1\right) \\ =&\left(x^2+x-6\right)\left(x-1\right) \end{align}</math>
其中，<math>+x</math>可以被拆成<math>+3x</math>和<math>-2x</math>。所以，<math>x^2+x-6</math>可以被写成<math>x^2+3x-2x-6</math>。因此，
<math>\begin{align} &\left(x^2+x-6\right)\left(x-1\right) \\ =&\left(x^2+3x-2x-6\right)\left(x-1\right) \\ =&\left[\left(x^2+3x\right)-\left(2x+6\right)\right]\left(x-1\right) \\ =&\left(x\left(x+3\right)-2\left(x+3\right)\right)\left(x-1\right) \\ =&\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right) \\ =&\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x+3\right) \end{align}</math>
十字交乘法[编辑]
十字交乘法（cross method），也叫做十字相乘法。它实际上是拆添项法的一个变形，只不过用十字形矩阵来表示。
一次因式检验法[编辑]
一个整系数的一元多项式<math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ...... a_1 x + a_0</math>，假如它有整系数因式<math>p x + q</math>，且p,q互素，则以下两条必成立：（逆叙述并不真）
- <math>p | a_n</math>
- <math>q | a_0</math>
不过反过来说，即使当<math>p | a_n</math>和<math>q | a_0</math>都成立时，整系数多项式<math>p x + q</math>也不一定是整系数多项式<math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ...... a_1 x + a_0</math>的因式
另外一个看法是：
一个整系数的ｎ次多项式<math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ...... a_1 x + a_0</math>，若<math>p x - q</math>是f(x)之因式，且p,q互素，则：（逆叙述并不真）
- <math>p - q | f(1)</math>
- <math>p + q | f(-1)</math>
参见[编辑]
注释[编辑]
延伸阅读[编辑]
- Burnside, William Snow; Panton, Arthur William (1960) [1912], The Theory of Equations with an introduction to the theory of binary algebraic forms (Volume one), Dover
- Dickson, Leonard Eugene (1922), First Course in the Theory of Equations, New York: John Wiley & Sons
- Fite, William Benjamin (1921), College Algebra (Revised), Boston: D. C. Heath & Co.
- Klein, Felix (1925), Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint; Arithmetic, Algebra, Analysis, Dover
- Selby, Samuel M., CRC Standard Mathematical Tables (18th ed.), The Chemical Rubber Co