反证法
反证法[1]（Template:Langx）又称背理法，是一种论证方式，他首先假设某命题成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。
反证法与归谬法相似，但归谬法不仅包括推理出矛盾结果，也包括推理出不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果。
理据[编辑]
给出命题 <math>p</math> 和命题 <math>\bar{p}</math>（非 <math>p</math>），根据排中律，两者之中起码有一个是真（更强的说法为，除了真和假之外并无其他的情况），所以如果其中一个是假的，另一个就必然是真。给出命题 <math>q</math> 和命题 <math>\bar{q}</math>（非 <math>q</math>），根据无矛盾律，两者同时为真的情况为假。给出命题 <math>\bar{p}</math> 和 <math>r</math>，根据否定后件律，如果若 <math>\bar{p}</math> 成立时出现 <math>r</math>，则 <math>r</math> 为假时 <math>\bar{p}</math> 即为假。反证法在要证明 <math>p</math> 时，透过显示出若 <math>\bar{p}</math> 成立时出现矛盾（<math>q</math> 和 <math>\bar{q}</math>），即 <math>\bar{p}</math> 为假，从而证明 <math>p</math> 为真。
例子[编辑]
<math>\sqrt{2}</math>是无理数的证明（古希腊人）[编辑]
证明：假设<math>\sqrt{2}</math>是有理数，那么可以写成 <math>\frac{p}{q}</math> 的形式，其中 <math>p</math>、<math>q</math> 皆为正整数且 <math>p</math>、<math>q</math> 互质。那么有
- <math>p=\sqrt{2}\times q</math>
- <math>p^2=2\times q^2</math>
可得 <math>p^2</math>是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以 <math>p</math> 也是偶数。因此可设 <math>p=2s</math>，从而 <math>p^2 = 4s^2</math>，代入上式，得：<math>q^2=2s^2</math>。所以 <math>q^2</math>也是偶数，故可得 <math>q</math> 也是偶数。这样 <math>p</math>、<math>q</math> 都是偶数，不互质，这与假设 <math>p</math>、<math>q</math> 互质矛盾，假设不成立。因此<math>\sqrt{2}</math>为无理数。
其他可用反证法证明的例子[编辑]
数学上有许多的定理可用反证法来证明，以下是一小部分的例子：
- 证明有无限多个质数。
- 任意6人当中，求证或者有3人两两相识，或者有3人互不相识。
- 现有90张纸，每张纸都写有一个非负整数，已知这90个数之和小于1980，证明至少有三张数目相同的纸。
- 集合 <math>S = \{x: 0<x<1\}</math> 没有最小值。
- 设 <math>n</math> 是大于1的整数，若所有小于或等于<math>\sqrt{n}</math>的质数都不能整除 <math>n</math>，则 <math>n</math> 是质数。
- 已知三角形ABC是锐角三角形，且<math>\angle A>\angle B>\angle C</math>。求证：<math>\angle B>45^\circ</math>。
- 已知 <math>a</math>、<math>b</math> 为正实数，求证：<math>\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}</math>。
- 已知 <math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>、<math>d</math> 是实数，且<math>ad-bc=1</math>，求证：<math>a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\neq 1</math>。
- 一个群若同时是交换群和单群，则该群是循环群
- 若一个循环群是单群，则该群的阶为质数
- 若一个循环群的阶为质数，则该群为单群
- 鸽笼原理
引文[编辑]
- 英国数学家高德菲·哈罗德·哈代在他的文章《一个数学家的辩白》描述：“欧几里得最喜欢用的反证法，是数学家最精良的武器。它比起棋手所用的任何战术还要好：棋手可能需要牺牲一只兵甚至更多，但数学家却是牺牲整个棋局来获得胜利。”
相关条目[编辑]
参考[编辑]
进一步阅读[编辑]
- J. Franklin and A. Daoud, Proof in Mathematics: An Introduction, Quakers Hill Press, 1996, ch. 6